Calcul infinitésimal Exemples

$y = x - \sin (x)$

Étape 1

Écrivez $y = x - \sin (x)$ comme une fonction.

$f (x) = x - \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$1 - \cos (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Étape 3.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cos (x)$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 \sin (x)$

Étape 3.2.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$1 - \cos (x) = 0$

Étape 5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \cos (x) = - 1$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.2.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Étape 7

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 8

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 9

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 10

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 11

La solution de l’équation est $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\sin (0)$

Étape 13

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0$

Étape 14

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 14.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Étape 14.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $1 - \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 1 - \cos (- 2)$

Étape 14.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.2.2.1.1

Évaluez $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = 1 + 0.41614683$

Étape 14.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = 1 + 0.41614683$

Étape 14.2.2.2

Additionnez $1$ et $0.41614683$ .

$f' (- 2) = 1.41614683$

Étape 14.2.2.3

La réponse finale est $1.41614683$ .

$1.41614683$

Étape 14.3

Remplacez tout nombre, tel que $3$ , de l’intervalle $(0, 2 π)$ dans la dérivée première $1 - \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.3.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = 1 - \cos (3)$

Étape 14.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.3.2.1.1

Évaluez $\cos (3)$ .

$f' (3) = 1 + 0.98999249$

Étape 14.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 1 + 0.98999249$

Étape 14.3.2.2

Additionnez $1$ et $0.98999249$ .

$f' (3) = 1.98999249$

Étape 14.3.2.3

La réponse finale est $1.98999249$ .

$1.98999249$

Étape 14.4

Remplacez tout nombre, tel que $9$ , de l’intervalle $(2 π, \infty)$ dans la dérivée première $1 - \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.4.1

Remplacez la variable $x$ par $9$ dans l’expression.

$f' (9) = 1 - \cos (9)$

Étape 14.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.4.2.1.1

Évaluez $\cos (9)$ .

$f' (9) = 1 + 0.91113026$

Étape 14.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 0.91113026$ .

$f' (9) = 1 + 0.91113026$

Étape 14.4.2.2

Additionnez $1$ et $0.91113026$ .

$f' (9) = 1.91113026$

Étape 14.4.2.3

La réponse finale est $1.91113026$ .

$1.91113026$

Étape 14.5

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 14.6

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = x - \sin (x)$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 15