Calcul infinitésimal Exemples

$f' (x) = 2 x e^{(x^{2} - 2 x - 8)}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2} - 2 x - 8}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2} - 2 x - 8}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x^{2} - 2 x - 8}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2} - 2 x - 8}] + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2} - 2 x - 8$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 2 x - 8$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 8]) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 8]) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 2 x - 8$ .

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 8]) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 8])) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.6

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 + 0)) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.7

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1)$

Étape 1.4.9

Multipliez $e^{x^{2} - 2 x - 8}$ par $1$ .

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)) + e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2))) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8}$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 x - 2) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 x - 2) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 x - 2)] + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2} - 2 x - 8}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 x - 2)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 x - 2)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 x - 2)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 x - 2)]$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 x - 2)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x^{2} - 2 x - 8} x$ et $g (x) = 2 x - 2$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x \frac{d}{d x} (2 x - 2) + (2 x - 2) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 2 x - 8} x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (2 x - 2) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 2 x - 8} x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (2 x - 2) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 2 x - 8} x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (2 x - 2) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 2 x - 8} x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 2 x - 8} x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2.7

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x^{2} - 2 x - 8}$ et $g (x) = x$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} (x) + x \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 2 x - 8}))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 2 x - 8}))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2.9

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2} - 2 x - 8$ .

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Étape 2.2.9.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} - 2 x - 8$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 8)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2.9.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 8)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2.9.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} - 2 x - 8$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 8)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8))))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8))))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2.12

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8))))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8))))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2.14

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \cdot 1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2.15

Multipliez $2$ par $1$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 + 0) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \cdot 1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2.16

Additionnez $2$ et $0$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} x \cdot 2 + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \cdot 1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2.17

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x^{2} - 2 x - 8} x$ .

$f''' (x) = 2 (2 \cdot (e^{x^{2} - 2 x - 8} x) + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \cdot 1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2.18

Multipliez $e^{x^{2} - 2 x - 8}$ par $1$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \cdot 1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2.19

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 + 0)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.2.20

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{x^{2} - 2 x - 8}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x^{2} - 2 x - 8}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2} - 2 x - 8}]$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 2 x - 8})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2} - 2 x - 8$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2} - 2 x - 8$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 8))$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 8))$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} - 2 x - 8$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 8))$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)))$

Étape 2.3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)))$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)))$

Étape 2.3.7

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 \cdot 1 + 0))$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2 + 0))$

Étape 2.3.9

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x) + 2 ((2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)))) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 2 (2 x - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2))) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2))) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (4 x + 2 \cdot - 2) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2))) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (4 x - 4) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2))) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (4 x - 4) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x) + e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot - 2)) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (4 x - 4) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot - 2)) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.4.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{x^{2} - 2 x - 8}$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (4 x - 4) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x - 2 \cdot e^{x^{2} - 2 x - 8})) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (4 x - 4) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + x (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x) + x (- 2 e^{x^{2} - 2 x - 8})) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.4.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (4 x - 4) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 x (e^{x^{2} - 2 x - 8} x) + x (- 2 e^{x^{2} - 2 x - 8})) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.4.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (4 x - 4) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 x (e^{x^{2} - 2 x - 8} x) - 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.4.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.3.4.7.1

Déplacez $x$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (4 x - 4) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 (x \cdot x) e^{x^{2} - 2 x - 8} - 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.4.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + (4 x - 4) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.5

Développez $(4 x - 4) (e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 x (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 4 x (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.6.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.3.6.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 (x^{2} x) (2 e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 4 x (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.6.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.4.3.6.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.4.3.6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 x^{2 + 1} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 4 x (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.6.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 x^{3} (2 e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 4 x (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 \cdot (2 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 4 x (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.6.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 x (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.6.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.3.6.4.1

Déplacez $x$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 (x \cdot x) (- 2 e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.6.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 x^{2} (- 2 e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.6.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 \cdot (- 2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.6.6

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 8 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 (2 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.6.7

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 8 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 8 (x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}) - 4 (- 2 x e^{x^{2} - 2 x - 8}) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.6.8

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 8 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 8 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.7

Additionnez $4 x e^{x^{2} - 2 x - 8}$ et $8 x e^{x^{2} - 2 x - 8}$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 12 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 8 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 8 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.8

Soustrayez $8 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}$ de $- 8 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8}$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 12 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x - 2)$

Étape 2.4.3.9

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 12 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} (2 x) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot - 2$

Étape 2.4.3.10

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 12 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 \cdot (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} \cdot - 2$

Étape 2.4.3.11

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 12 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} + 2 \cdot (2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x) - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8}$

Étape 2.4.3.12

Multipliez $2$ par $2$ .

$f''' (x) = 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x + 12 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8}$

Étape 2.4.4

Additionnez $4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x$ et $12 x e^{x^{2} - 2 x - 8}$ .

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Étape 2.4.4.1

Déplacez $e^{x^{2} - 2 x - 8}$ .

$f''' (x) = 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 12 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8}$

Étape 2.4.4.2

Additionnez $4 x e^{x^{2} - 2 x - 8}$ et $12 x e^{x^{2} - 2 x - 8}$ .

$f''' (x) = 16 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8}$

Étape 2.4.5

Additionnez $16 x e^{x^{2} - 2 x - 8}$ et $4 e^{x^{2} - 2 x - 8} x$ .

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Étape 2.4.5.1

Déplacez $e^{x^{2} - 2 x - 8}$ .

$f''' (x) = 16 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 4 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8}$

Étape 2.4.5.2

Additionnez $16 x e^{x^{2} - 2 x - 8}$ et $4 x e^{x^{2} - 2 x - 8}$ .

$f''' (x) = 20 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8} - 4 e^{x^{2} - 2 x - 8}$

Étape 2.4.6

Soustrayez $4 e^{x^{2} - 2 x - 8}$ de $- 4 e^{x^{2} - 2 x - 8}$ .

$f''' (x) = 20 x e^{x^{2} - 2 x - 8} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 2 x - 8} - 8 e^{x^{2} - 2 x - 8}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 e^{x^{2} - 2 x - 8} x (2 x - 2) + 2 e^{x^{2} - 2 x - 8} = 0$

Étape 4

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 5

Aucun extremum local

Étape 6