Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{5} (x^{3} - 8 x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 3 x^{5}$ et $g (x) = x^{3} - 8 x$ .

$3 x^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8 x] + (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 8 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$3 x^{5} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{5} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{5} (3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{5} (3 x^{2} - 8 \cdot 1) + (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Étape 3.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$3 x^{5} (3 x^{2} - 8) + (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 x^{5} (3 x^{2} - 8) + (x^{3} - 8 x) (3 \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$3 x^{5} (3 x^{2} - 8) + (x^{3} - 8 x) (3 (5 x^{4}))$

Étape 4.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$3 x^{5} (3 x^{2} - 8) + (x^{3} - 8 x) (15 x^{4})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{5} (3 x^{2}) + 3 x^{5} \cdot - 8 + (x^{3} - 8 x) (15 x^{4})$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{5} (3 x^{2}) + 3 x^{5} \cdot - 8 + x^{3} (15 x^{4}) - 8 x (15 x^{4})$

Étape 5.3

Associez des termes.

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Étape 5.3.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x^{5} x^{2} + 3 x^{5} \cdot - 8 + x^{3} (15 x^{4}) - 8 x (15 x^{4})$

Étape 5.3.2

Multipliez $x^{5}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$9 (x^{2} x^{5}) + 3 x^{5} \cdot - 8 + x^{3} (15 x^{4}) - 8 x (15 x^{4})$

Étape 5.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 x^{2 + 5} + 3 x^{5} \cdot - 8 + x^{3} (15 x^{4}) - 8 x (15 x^{4})$

Étape 5.3.2.3

Additionnez $2$ et $5$ .

$9 x^{7} + 3 x^{5} \cdot - 8 + x^{3} (15 x^{4}) - 8 x (15 x^{4})$

Étape 5.3.3

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$9 x^{7} - 24 x^{5} + x^{3} (15 x^{4}) - 8 x (15 x^{4})$

Étape 5.3.4

Multipliez $x^{3}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.4.1

Déplacez $x^{4}$ .

$9 x^{7} - 24 x^{5} + x^{4} x^{3} \cdot 15 - 8 x (15 x^{4})$

Étape 5.3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 x^{7} - 24 x^{5} + x^{4 + 3} \cdot 15 - 8 x (15 x^{4})$

Étape 5.3.4.3

Additionnez $4$ et $3$ .

$9 x^{7} - 24 x^{5} + x^{7} \cdot 15 - 8 x (15 x^{4})$

Étape 5.3.5

Déplacez $15$ à gauche de $x^{7}$ .

$9 x^{7} - 24 x^{5} + 15 \cdot x^{7} - 8 x (15 x^{4})$

Étape 5.3.6

Multipliez $15$ par $- 8$ .

$9 x^{7} - 24 x^{5} + 15 x^{7} - 120 x \cdot x^{4}$

Étape 5.3.7

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.7.1

Déplacez $x^{4}$ .

$9 x^{7} - 24 x^{5} + 15 x^{7} - 120 (x^{4} x)$

Étape 5.3.7.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 5.3.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$9 x^{7} - 24 x^{5} + 15 x^{7} - 120 (x^{4} x^{1})$

Étape 5.3.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 x^{7} - 24 x^{5} + 15 x^{7} - 120 x^{4 + 1}$

Étape 5.3.7.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$9 x^{7} - 24 x^{5} + 15 x^{7} - 120 x^{5}$

Étape 5.3.8

Additionnez $9 x^{7}$ et $15 x^{7}$ .

$24 x^{7} - 24 x^{5} - 120 x^{5}$

Étape 5.3.9

Soustrayez $120 x^{5}$ de $- 24 x^{5}$ .

$24 x^{7} - 144 x^{5}$