Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (3 x - 5) (\sqrt{x} + 3)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 3 x - 5$ et $g (x) = \sqrt{x} + 3$ .

$(3 x - 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x} + 3] + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{x} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(3 x - 5) (\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(3 x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 3.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 5.2.2

Additionnez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 7

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 7.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 7.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 8.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) (3 + 0)$

Étape 8.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) \cdot 3$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) \cdot 3$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Étape 9.3

Associez des termes.

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Étape 9.3.1

Associez $3$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Étape 9.3.2

Associez $x$ et $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Étape 9.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{3 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Étape 9.3.4

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Étape 9.3.5

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.3.5.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Étape 9.3.5.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 9.3.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Étape 9.3.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Étape 9.3.5.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Étape 9.3.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Étape 9.3.5.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Étape 9.3.6

Associez $- 5$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Étape 9.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Étape 9.3.8

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{x}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot \sqrt{x} + 3 \cdot 3$

Étape 9.3.9

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{x} + 9$

Étape 9.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 9 - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{x}$