Calcul infinitésimal Exemples

$\sin^{-1} (e^{x})$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\sin^{-1} (e^{x})$ supérieur ou égal à $- 1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$e^{x} \geq - 1$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) \geq \ln (- 1)$

Étape 2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 1)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} \geq - 1$

Aucune solution

Étape 3

Définissez l’argument dans $\sin^{-1} (e^{x})$ inférieur ou égal à $1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$e^{x} \leq 1$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) \leq \ln (1)$

Étape 4.2

Développez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) \leq \ln (1)$

Étape 4.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 \leq \ln (1)$

Étape 4.2.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x \leq \ln (1)$

Étape 4.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x \leq 0$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq 0}$

Étape 6

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Étape 7

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, 0], {x | x \leq 0}$

Plage : $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Étape 8