Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(4 x - 3)}^{2} {(4 - x^{5})}^{4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(4 x - 3)}^{2}$ et $g (x) = {(4 - x^{5})}^{4}$ .

${(4 x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{5})}^{4}] + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 4 - x^{5}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - x^{5}$ .

${(4 x - 3)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [4 - x^{5}]) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

${(4 x - 3)}^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [4 - x^{5}]) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - x^{5}$ .

${(4 x - 3)}^{2} (4 {(4 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [4 - x^{5}]) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

${(4 x - 3)}^{2} (4 {(4 - x^{5})}^{3} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Étape 3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(4 x - 3)}^{2} (4 {(4 - x^{5})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

${(4 x - 3)}^{2} (4 {(4 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

${(4 x - 3)}^{2} (4 {(4 - x^{5})}^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{5}])) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 4 {(4 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 4 {(4 - x^{5})}^{3} (5 x^{4})) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.1

Multipliez $5$ par $- 4$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 {(4 - x^{5})}^{3} x^{4}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Étape 3.7.2

Réorganisez les facteurs de $- 20 {(4 - x^{5})}^{3} x^{4}$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Étape 3.7.3

Réécrivez ${(4 x - 3)}^{2}$ comme $(4 x - 3) (4 x - 3)$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [(4 x - 3) (4 x - 3)]$

Étape 4

Développez $(4 x - 3) (4 x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 x (4 x - 3) - 3 (4 x - 3)]$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x - 3)]$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

Étape 5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

Étape 5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.2.1

Déplacez $x$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

Étape 5.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 3$ par $4$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 12 x - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

Étape 5.1.5

Multipliez $4$ par $- 3$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 12 x - 12 x - 3 \cdot - 3]$

Étape 5.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 12 x - 12 x + 9]$

Étape 5.2

Soustrayez $12 x$ de $- 12 x$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 24 x + 9]$

Étape 6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 x^{2} - 24 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 7

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{2}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 9

Multipliez $2$ par $16$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 10

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 12

Multipliez $- 24$ par $1$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24 + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 13

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24 + 0)$

Étape 14

Simplifiez en factorisant.

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Étape 14.1

Additionnez $32 x - 24$ et $0$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24)$

Étape 14.2

Factorisez ${(4 - x^{5})}^{3}$ à partir de ${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24)$ .

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Étape 14.2.1

Factorisez ${(4 - x^{5})}^{3}$ à partir de ${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3})$ .

${(4 - x^{5})}^{3} ({(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4})) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24)$

Étape 14.2.2

Factorisez ${(4 - x^{5})}^{3}$ à partir de ${(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24)$ .

${(4 - x^{5})}^{3} ({(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4})) + {(4 - x^{5})}^{3} ((4 - x^{5}) (32 x - 24))$

Étape 14.2.3

Factorisez ${(4 - x^{5})}^{3}$ à partir de ${(4 - x^{5})}^{3} ({(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4})) + {(4 - x^{5})}^{3} ((4 - x^{5}) (32 x - 24))$ .

${(4 - x^{5})}^{3} ({(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4}) + (4 - x^{5}) (32 x - 24))$