Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{x}}{x^{n}}$

Étape 1

Cette dérivée n’a pas pu être terminée avec la règle de produit. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{n}$ .

$\frac{x^{n} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{n}]}{{(x^{n})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{n})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{n} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{n}]}{x^{n \cdot 2}}$

Étape 3.2

Déplacez $2$ à gauche de $n$ .

$\frac{x^{n} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{n}]}{x^{2 n}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x^{n} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{n}]}{x^{2 n}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = n$ .

$\frac{x^{n} e^{x} - e^{x} (n x^{n - 1})}{x^{2 n}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{n} e^{x} - e^{x} (n x^{n - 1})$ .

$\frac{x^{n} e^{x} - n e^{x} x^{n - 1}}{x^{2 n}}$

Étape 6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} x^{n} - e^{x} x^{n - 1} n}{x^{2 n}}$

Étape 6.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x^{n} - e^{x} x^{n - 1} n$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x^{n}$ .

$\frac{e^{x} (x^{n}) - e^{x} x^{n - 1} n}{x^{2 n}}$

Étape 6.3.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} x^{n - 1} n$ .

$\frac{e^{x} (x^{n}) + e^{x} (- x^{n - 1} n)}{x^{2 n}}$

Étape 6.3.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (x^{n}) + e^{x} (- x^{n - 1} n)$ .

$\frac{e^{x} (x^{n} - x^{n - 1} n)}{x^{2 n}}$

Étape 6.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{x} (x^{n} - x^{n - 1} n)}{x^{2 n}}$ .

$\frac{e^{x} (x^{n} - n x^{n - 1})}{x^{2 n}}$