Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} (3 x^{3} - 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 3 x^{3} - 1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 1] + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{2} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$x^{2} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} (9 x^{2} + 0) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.2

Additionnez $9 x^{2}$ et $0$ .

$x^{2} (9 x^{2}) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (9 x^{2}) + (3 x^{3} - 1) (2 x)$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (9 x^{2}) + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Étape 5.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} \cdot 9 + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Étape 5.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 2} \cdot 9 + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Étape 5.2.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} \cdot 9 + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Étape 5.2.2

Déplacez $9$ à gauche de $x^{4}$ .

$9 \cdot x^{4} + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Étape 5.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$9 x^{4} + 6 x^{3} x - 1 (2 x)$

Étape 5.2.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$9 x^{4} + 6 (x^{1} x^{3}) - 1 (2 x)$

Étape 5.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 x^{4} + 6 x^{1 + 3} - 1 (2 x)$

Étape 5.2.6

Additionnez $1$ et $3$ .

$9 x^{4} + 6 x^{4} - 1 (2 x)$

Étape 5.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$9 x^{4} + 6 x^{4} - 2 x$

Étape 5.2.8

Additionnez $9 x^{4}$ et $6 x^{4}$ .

$15 x^{4} - 2 x$