Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 3}^{10} \sqrt{3} \cdot \frac{i}{2}$

Étape 1

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $i$ égale à $1$ .

$\sum_{i = 3}^{10} \frac{\sqrt{3} i}{2} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{\sqrt{3} i}{2} - \sum_{i = 1}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Étape 2

Évaluez $\sum_{i = 1}^{10} \frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dans l’addition.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sum_{k = 1}^{10} i$

Étape 2.2

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 2.3

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(\frac{\sqrt{3}}{2}) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1.1

Additionnez $10$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{10 \cdot 11}{2}$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $10$ par $11$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{110}{2}$

Étape 2.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $110$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 (55)}{2}$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 \cdot 55}{2}$

Étape 2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{3} \frac{55}{2}$

Étape 2.4.3

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{55}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 55}{2}$

Étape 2.4.4

Déplacez $55$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{55 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3

Évaluez $\sum_{i = 1}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

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Étape 3.1

Développez la série pour chaque valeur de $i$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 1}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.3

Additionnez $\sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$\frac{55 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{55 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.2

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $55 \sqrt{3}$ .

$\frac{52 \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun à $52$ et $2$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $2$ à partir de $52 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (26 \sqrt{3})}{2}$

Étape 5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (26 \sqrt{3})}{2 (1)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (26 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{26 \sqrt{3}}{1}$

Étape 5.3.2.4

Divisez $26 \sqrt{3}$ par $1$ .

$26 \sqrt{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$26 \sqrt{3}$

Forme décimale :

$45.03332099 \dots$