Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{x = 1}^{4} {(x - 1)}^{2} + {(x + 1)}^{3}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x - 1) + {(x + 1)}^{3}$

Étape 1.1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 1) - 1 (x - 1) + {(x + 1)}^{3}$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + {(x + 1)}^{3}$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

Étape 1.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

Étape 1.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

Étape 1.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} - x - x + 1 + {(x + 1)}^{3}$

Étape 1.1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + {(x + 1)}^{3}$

Étape 1.1.4

Utilisez le théorème du binôme.

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}$

Étape 1.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}$

Étape 1.1.5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}$

Étape 1.1.5.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}$

Étape 1.1.5.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$

Étape 1.2

Additionnez $x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x + 1$

Étape 1.3

Additionnez $- 2 x$ et $3 x$ .

$4 x^{2} + x + 1 + x^{3} + 1$

Étape 1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 x^{2} + x + x^{3} + 2$

Étape 1.5

Réécrivez l’addition.

$\sum_{x = 1}^{4} 4 x^{2} + x + x^{3} + 2$

Étape 2

Développez la série pour chaque valeur de $x$ .

$4 \cdot 1^{2} + 1 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$4 \cdot 1 + 1 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + 1 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$5 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.4

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$5 + 1 + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.5

Additionnez $5$ et $1$ .

$6 + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.6

Additionnez $6$ et $2$ .

$8 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 + 4 \cdot 4 + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.8

Multipliez $4$ par $4$ .

$8 + 16 + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.9

Additionnez $16$ et $2$ .

$8 + 18 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.10

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 + 18 + 8 + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.11

Additionnez $18$ et $8$ .

$8 + 26 + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.12

Additionnez $26$ et $2$ .

$8 + 28 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.13

Additionnez $8$ et $28$ .

$36 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.14

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$36 + 4 \cdot 9 + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.15

Multipliez $4$ par $9$ .

$36 + 36 + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.16

Additionnez $36$ et $3$ .

$36 + 39 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.17

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$36 + 39 + 27 + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.18

Additionnez $39$ et $27$ .

$36 + 66 + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.19

Additionnez $66$ et $2$ .

$36 + 68 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.20

Additionnez $36$ et $68$ .

$104 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.21

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$104 + 4 \cdot 16 + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.22

Multipliez $4$ par $16$ .

$104 + 64 + 4 + 4^{3} + 2$

Étape 3.23

Additionnez $64$ et $4$ .

$104 + 68 + 4^{3} + 2$

Étape 3.24

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$104 + 68 + 64 + 2$

Étape 3.25

Additionnez $68$ et $64$ .

$104 + 132 + 2$

Étape 3.26

Additionnez $132$ et $2$ .

$104 + 134$

Étape 3.27

Additionnez $104$ et $134$ .

$238$