Calcul infinitésimal Exemples

$2 \sum_{k = 1}^{10} 100 - {(- 10 + 2 k)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez ${(- 10 + 2 k)}^{2}$ comme $(- 10 + 2 k) (- 10 + 2 k)$ .

$100 - ((- 10 + 2 k) (- 10 + 2 k))$

Étape 1.1.2

Développez $(- 10 + 2 k) (- 10 + 2 k)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$100 - (- 10 (- 10 + 2 k) + 2 k (- 10 + 2 k))$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$100 - (- 10 \cdot - 10 - 10 (2 k) + 2 k (- 10 + 2 k))$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$100 - (- 10 \cdot - 10 - 10 (2 k) + 2 k \cdot - 10 + 2 k (2 k))$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Multipliez $- 10$ par $- 10$ .

$100 - (100 - 10 (2 k) + 2 k \cdot - 10 + 2 k (2 k))$

Étape 1.1.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 10$ .

$100 - (100 - 20 k + 2 k \cdot - 10 + 2 k (2 k))$

Étape 1.1.3.1.3

Multipliez $- 10$ par $2$ .

$100 - (100 - 20 k - 20 k + 2 k (2 k))$

Étape 1.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$100 - (100 - 20 k - 20 k + 2 \cdot 2 k \cdot k)$

Étape 1.1.3.1.5

Multipliez $k$ par $k$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.1.5.1

Déplacez $k$ .

$100 - (100 - 20 k - 20 k + 2 \cdot 2 (k \cdot k))$

Étape 1.1.3.1.5.2

Multipliez $k$ par $k$ .

$100 - (100 - 20 k - 20 k + 2 \cdot 2 k^{2})$

Étape 1.1.3.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$100 - (100 - 20 k - 20 k + 4 k^{2})$

Étape 1.1.3.2

Soustrayez $20 k$ de $- 20 k$ .

$100 - (100 - 40 k + 4 k^{2})$

Étape 1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$100 - 1 \cdot 100 - (- 40 k) - (4 k^{2})$

Étape 1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $100$ .

$100 - 100 - (- 40 k) - (4 k^{2})$

Étape 1.1.5.2

Multipliez $- 40$ par $- 1$ .

$100 - 100 + 40 k - (4 k^{2})$

Étape 1.1.5.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$100 - 100 + 40 k - 4 k^{2}$

Étape 1.2

Soustrayez $100$ de $100$ .

$0 + 40 k - 4 k^{2}$

Étape 1.3

Additionnez $0$ et $40 k$ .

$40 k - 4 k^{2}$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$2 \sum_{k = 1}^{10} 40 k - 4 k^{2}$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$2 \sum_{k = 1}^{10} 40 k - 4 k^{2} = (2 \cdot 40) \sum_{k = 1}^{10} k + (2 \cdot - 4) \sum_{k = 1}^{10} k^{2}$

Étape 3

Évaluez $(2 \cdot 40) \sum_{k = 1}^{10} k$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(2 \cdot 40) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1.1

Additionnez $10$ et $1$ .

$2 \cdot 40 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $10$ par $11$ .

$2 \cdot 40 \frac{110}{2}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 40$ .

$2 (40) \frac{110}{2}$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 40 \frac{110}{2}$

Étape 3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$40 \cdot 110$

Étape 3.3.3

Multipliez $40$ par $110$ .

$4400$

Étape 4

Évaluez $(2 \cdot - 4) \sum_{k = 1}^{10} k^{2}$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(2 \cdot - 4) (\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6})$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Additionnez $10$ et $1$ .

$2 \cdot - 4 \frac{10 \cdot 11 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Étape 4.3.1.2

Associez les exposants.

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $10$ par $11$ .

$2 \cdot - 4 \frac{110 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$2 \cdot - 4 \frac{110 (20 + 1)}{6}$

Étape 4.3.1.3

Additionnez $20$ et $1$ .

$2 \cdot - 4 \frac{110 \cdot 21}{6}$

Étape 4.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $110$ par $21$ .

$2 \cdot - 4 \frac{2310}{6}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 8 (\frac{2310}{6})$

Étape 4.3.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$2 (- 4) \frac{2310}{6}$

Étape 4.3.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 \cdot - 4 \frac{2310}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 4 \frac{2310}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$- 4 (\frac{2310}{3})$

Étape 4.3.2.4

Associez $- 4$ et $\frac{2310}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2310}{3}$

Étape 4.3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.5.1

Multipliez $- 4$ par $2310$ .

$\frac{- 9240}{3}$

Étape 4.3.2.5.2

Divisez $- 9240$ par $3$ .

$- 3080$

Étape 5

Additionnez les résultats des additions.

$4400 - 3080$

Étape 6

Soustrayez $3080$ de $4400$ .

$1320$