Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 1}^{6} {(k)}^{3} - {(k - 1)}^{3}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$k^{3} - (k^{3} + 3 k^{2} \cdot - 1 + 3 k {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Étape 1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$k^{3} - (k^{3} - 3 k^{2} + 3 k {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Étape 1.1.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$k^{3} - (k^{3} - 3 k^{2} + 3 k \cdot 1 + {(- 1)}^{3})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$k^{3} - (k^{3} - 3 k^{2} + 3 k + {(- 1)}^{3})$

Étape 1.1.2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$k^{3} - (k^{3} - 3 k^{2} + 3 k - 1)$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$k^{3} - k^{3} - (- 3 k^{2}) - (3 k) - - 1$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$k^{3} - k^{3} + 3 k^{2} - (3 k) - - 1$

Étape 1.1.4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$k^{3} - k^{3} + 3 k^{2} - 3 k - - 1$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$k^{3} - k^{3} + 3 k^{2} - 3 k + 1$

Étape 1.2

Soustrayez $k^{3}$ de $k^{3}$ .

$0 + 3 k^{2} - 3 k + 1$

Étape 1.3

Additionnez $0$ et $3 k^{2}$ .

$3 k^{2} - 3 k + 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\sum_{k = 1}^{6} 3 k^{2} - 3 k + 1$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{6} 3 k^{2} - 3 k + 1 = 3 \sum_{k = 1}^{6} k^{2} - 3 \sum_{k = 1}^{6} k + \sum_{k = 1}^{6} 1$

Étape 3

Évaluez $3 \sum_{k = 1}^{6} k^{2}$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(3) (\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6})$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Additionnez $6$ et $1$ .

$3 \frac{6 \cdot 7 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.2

Associez les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Multipliez $6$ par $7$ .

$3 \frac{42 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$3 \frac{42 (12 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.3

Additionnez $12$ et $1$ .

$3 \frac{42 \cdot 13}{6}$

Étape 3.3.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $42$ par $13$ .

$3 (\frac{546}{6})$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 \frac{546}{3 (2)}$

Étape 3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{546}{3 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{546}{2}$

Étape 3.3.2.3

Divisez $546$ par $2$ .

$273$

Étape 4

Évaluez $3 \sum_{k = 1}^{6} k$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 3) (\frac{6 (6 + 1)}{2})$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Additionnez $6$ et $1$ .

$- 3 \frac{6 \cdot 7}{2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $6$ par $7$ .

$- 3 (\frac{42}{2})$

Étape 4.3.3

Divisez $42$ par $2$ .

$- 3 \cdot 21$

Étape 4.3.4

Multipliez $- 3$ par $21$ .

$- 63$

Étape 5

Évaluez $\sum_{k = 1}^{6} 1$ .

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Étape 5.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(1) (6)$

Étape 5.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6$

Étape 6

Additionnez les résultats des additions.

$273 - 63 + 6$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Soustrayez $63$ de $273$ .

$210 + 6$

Étape 7.2

Additionnez $210$ et $6$ .

$216$