Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 1}^{4} 2 \sin (\frac{π}{k})$

Étape 1

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

$2 \sin (\frac{π}{1}) + 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Divisez $π$ par $1$ .

$2 \sin (π) + 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Étape 2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$2 \sin (0) + 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Étape 2.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2 \cdot 0 + 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Étape 2.1.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 + 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Étape 2.1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 + 2 \cdot 1 + 2 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Étape 2.1.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 2 + 2 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Étape 2.1.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$0 + 2 + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Étape 2.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.8.1

Annulez le facteur commun.

$0 + 2 + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Étape 2.1.8.2

Réécrivez l’expression.

$0 + 2 + \sqrt{3} + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Étape 2.1.9

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$0 + 2 + \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.10.1

Annulez le facteur commun.

$0 + 2 + \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.1.10.2

Réécrivez l’expression.

$0 + 2 + \sqrt{3} + \sqrt{2}$

Étape 2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$2 + \sqrt{3} + \sqrt{2}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 + \sqrt{3} + \sqrt{2}$

Forme décimale :

$5.14626436 \dots$