Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{60} (3 i^{2} - i) (2 i - 5)$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Développez $(3 i^{2} - i) (2 i - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 i^{2} (2 i - 5) - i (2 i - 5)$

Étape 1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 i^{2} (2 i) + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i - 5)$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 i^{2} (2 i) + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i) - i \cdot - 5$

Étape 1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \cdot 2 i^{2} i + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i) - i \cdot - 5$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $i^{2}$ par $i$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.2.1

Déplacez $i$ .

$3 \cdot 2 (i \cdot i^{2}) + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i) - i \cdot - 5$

Étape 1.2.1.2.2

Multipliez $i$ par $i^{2}$ .

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Étape 1.2.1.2.2.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$3 \cdot 2 (i^{1} i^{2}) + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i) - i \cdot - 5$

Étape 1.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \cdot 2 i^{1 + 2} + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i) - i \cdot - 5$

Étape 1.2.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 \cdot 2 i^{3} + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i) - i \cdot - 5$

Étape 1.2.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 i^{3} + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i) - i \cdot - 5$

Étape 1.2.1.4

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$6 i^{3} - 15 i^{2} - i (2 i) - i \cdot - 5$

Étape 1.2.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 i^{3} - 15 i^{2} - 1 \cdot 2 i \cdot i - i \cdot - 5$

Étape 1.2.1.6

Multipliez $i$ par $i$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.6.1

Déplacez $i$ .

$6 i^{3} - 15 i^{2} - 1 \cdot 2 (i \cdot i) - i \cdot - 5$

Étape 1.2.1.6.2

Multipliez $i$ par $i$ .

$6 i^{3} - 15 i^{2} - 1 \cdot 2 i^{2} - i \cdot - 5$

Étape 1.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$6 i^{3} - 15 i^{2} - 2 i^{2} - i \cdot - 5$

Étape 1.2.1.8

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$6 i^{3} - 15 i^{2} - 2 i^{2} + 5 i$

Étape 1.2.2

Soustrayez $2 i^{2}$ de $- 15 i^{2}$ .

$6 i^{3} - 17 i^{2} + 5 i$

Étape 1.3

Réécrivez l’addition.

$\sum_{i = 1}^{60} 6 i^{3} - 17 i^{2} + 5 i$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{i = 1}^{60} 6 i^{3} - 17 i^{2} + 5 i = 6 \sum_{i = 1}^{60} i^{3} - 17 \sum_{i = 1}^{60} i^{2} + 5 \sum_{i = 1}^{60} i$

Étape 3

Évaluez $6 \sum_{i = 1}^{60} i^{3}$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $3$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(6) (\frac{60^{2} {(60 + 1)}^{2}}{4})$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Additionnez $60$ et $1$ .

$6 \frac{60^{2} \cdot 61^{2}}{4}$

Étape 3.3.1.2

Élevez $60$ à la puissance $2$ .

$6 \frac{3600 \cdot 61^{2}}{4}$

Étape 3.3.1.3

Élevez $61$ à la puissance $2$ .

$6 \frac{3600 \cdot 3721}{4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $3600$ par $3721$ .

$6 (\frac{13395600}{4})$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) \frac{13395600}{4}$

Étape 3.3.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \cdot 3 \frac{13395600}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 3 \frac{13395600}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{13395600}{2})$

Étape 3.3.2.3

Associez $3$ et $\frac{13395600}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 13395600}{2}$

Étape 3.3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.4.1

Multipliez $3$ par $13395600$ .

$\frac{40186800}{2}$

Étape 3.3.2.4.2

Divisez $40186800$ par $2$ .

$20093400$

Étape 4

Évaluez $17 \sum_{i = 1}^{60} i^{2}$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 17) (\frac{60 (60 + 1) (2 \cdot 60 + 1)}{6})$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Additionnez $60$ et $1$ .

$- 17 \frac{60 \cdot 61 (2 \cdot 60 + 1)}{6}$

Étape 4.3.1.2

Associez les exposants.

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $60$ par $61$ .

$- 17 \frac{3660 (2 \cdot 60 + 1)}{6}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $60$ .

$- 17 \frac{3660 (120 + 1)}{6}$

Étape 4.3.1.3

Additionnez $120$ et $1$ .

$- 17 \frac{3660 \cdot 121}{6}$

Étape 4.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $3660$ par $121$ .

$- 17 (\frac{442860}{6})$

Étape 4.3.2.2

Divisez $442860$ par $6$ .

$- 17 \cdot 73810$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- 17$ par $73810$ .

$- 1254770$

Étape 5

Évaluez $5 \sum_{i = 1}^{60} i$ .

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Étape 5.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(5) (\frac{60 (60 + 1)}{2})$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Additionnez $60$ et $1$ .

$5 \frac{60 \cdot 61}{2}$

Étape 5.3.2

Multipliez $60$ par $61$ .

$5 (\frac{3660}{2})$

Étape 5.3.3

Divisez $3660$ par $2$ .

$5 \cdot 1830$

Étape 5.3.4

Multipliez $5$ par $1830$ .

$9150$

Étape 6

Additionnez les résultats des additions.

$20093400 - 1254770 + 9150$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Soustrayez $1254770$ de $20093400$ .

$18838630 + 9150$

Étape 7.2

Additionnez $18838630$ et $9150$ .

$18847780$