Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x + \frac{2}{x}$ , $x = 2$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + \frac{2}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$5 + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$5 + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$5 + 2 (- x^{- 2})$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$5 - 2 x^{- 2}$

Étape 4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez des termes.

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Étape 5.1.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$5 + \frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 5.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 - \frac{2}{x^{2}}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{2}{x^{2}} + 5$

Étape 6

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$- \frac{2}{{(2)}^{2}} + 5$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun à $2$ et ${(2)}^{2}$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{{(2)}^{2}} + 5$

Étape 7.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de ${(2)}^{2}$ .

$- \frac{2 (1)}{2 \cdot 2} + 5$

Étape 7.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 5$

Étape 7.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} + 5$

Étape 7.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.3

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Étape 7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 5 \cdot 2}{2}$

Étape 7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{- 1 + 10}{2}$

Étape 7.5.2

Additionnez $- 1$ et $10$ .

$\frac{9}{2}$