Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} (x - 10) (x + 1)}{(x - 5) (x + 8)} \geq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} = 0$

$x - 10 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 8 = 0$

Étape 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 6

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 7

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = 10$

$x = - 1$

$x = 5$

$x = - 8$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = 0, 10, - 1, 5, - 8$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} (x - 10) (x + 1)}{(x - 5) (x + 8)}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} (x - 10) (x + 1)}{(x - 5) (x + 8)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x - 5) (x + 8) = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 8 = 0$

Étape 10.2.2

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.2.2.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 10.2.2.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 10.2.3

Définissez $x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.2.3.1

Définissez $x + 8$ égal à $0$ .

$x + 8 = 0$

Étape 10.2.3.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 10.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x + 8) = 0$ vraie.

$x = 5, - 8$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 5) \cup (5, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 5$

$5 < x < 10$

$x > 10$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 10)}^{2} ((- 10) - 10) ((- 10) + 1)}{((- 10) - 5) ((- 10) + 8)} \geq 0$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $600$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 4)}^{2} ((- 4) - 10) ((- 4) + 1)}{((- 4) - 5) ((- 4) + 8)} \geq 0$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $- 18.\overline{6}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.5$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $- 0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 0.5)}^{2} ((- 0.5) - 10) ((- 0.5) + 1)}{((- 0.5) - 5) ((- 0.5) + 8)} \geq 0$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $0.03\overline{18}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(2)}^{2} ((2) - 10) ((2) + 1)}{((2) - 5) ((2) + 8)} \geq 0$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $3.2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.5

Testez une valeur sur l’intervalle $5 < x < 10$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $5 < x < 10$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 12.5.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(8)}^{2} ((8) - 10) ((8) + 1)}{((8) - 5) ((8) + 8)} \geq 0$

Étape 12.5.3

Le côté gauche $- 24$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.6

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 10$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.6.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 10$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 12$

Étape 12.6.2

Remplacez $x$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(12)}^{2} ((12) - 10) ((12) + 1)}{((12) - 5) ((12) + 8)} \geq 0$

Étape 12.6.3

Le côté gauche $26.7\overline{428571}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.7

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 8$ Vrai

$- 8 < x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 5$ Vrai

$5 < x < 10$ Faux

$x > 10$ Vrai

$x < - 8$ Vrai

$- 8 < x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 5$ Vrai

$5 < x < 10$ Faux

$x > 10$ Vrai

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 8$ ou $- 1 \leq x \leq 0$ ou $0 \leq x < 5$ ou $x \geq 10$

Étape 14

Associez les intervalles.

$x < - 8 or - 1 \leq x < 5 or x \geq 10$

Étape 15

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 8) \cup [- 1, 5) \cup [10, \infty)$

Étape 16