Calcul infinitésimal Exemples

$3 w^{2} + w < (w + 2)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $w$ du côté gauche de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $w$ des deux côtés de l’inégalité.

$3 w^{2} + w - w < 2$

Étape 1.2

Associez les termes opposés dans $3 w^{2} + w - w$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Soustrayez $w$ de $w$ .

$3 w^{2} + 0 < 2$

Étape 1.2.2

Additionnez $3 w^{2}$ et $0$ .

$3 w^{2} < 2$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $3 w^{2} < 2$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $3 w^{2} < 2$ par $3$ .

$\frac{3 w^{2}}{3} < \frac{2}{3}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 w^{2}}{3} < \frac{2}{3}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $w^{2}$ par $1$ .

$w^{2} < \frac{2}{3}$

Étape 3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{w^{2}} < \sqrt{\frac{2}{3}}$

Étape 4

Simplifiez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| w | < \sqrt{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez $\sqrt{\frac{2}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{2}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$| w | < \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| w | < \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 4.2.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.2.1.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 4.2.1.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 4.2.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 4.2.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.2.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 4.2.1.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$| w | < \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Étape 4.2.1.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$| w | < \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 5

Écrivez $| w | < \frac{\sqrt{6}}{3}$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$w \geq 0$

Étape 5.2

Dans la partie où $w$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$w < \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$w < 0$

Étape 5.4

Dans la partie où $w$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- w < \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} w < \frac{\sqrt{6}}{3} & w \geq 0 \\ - w < \frac{\sqrt{6}}{3} & w < 0 \end{cases}$

Étape 6

Déterminez l’intersection de $w < \frac{\sqrt{6}}{3}$ et $w \geq 0$ .

$0 \leq w < \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 7

Résolvez $- w < \frac{\sqrt{6}}{3}$ quand $w < 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $- w < \frac{\sqrt{6}}{3}$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Divisez chaque terme dans $- w < \frac{\sqrt{6}}{3}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- w}{- 1} > \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{- 1}$

Étape 7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{w}{1} > \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{- 1}$

Étape 7.1.2.2

Divisez $w$ par $1$ .

$w > \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{- 1}$

Étape 7.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{- 1}$ .

$w > - 1 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 7.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}$ comme $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

$w > - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 7.2

Déterminez l’intersection de $w > - \frac{\sqrt{6}}{3}$ et $w < 0$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{3} < w < 0$

Étape 8

Déterminez l’union des solutions.

$- \frac{\sqrt{6}}{3} < w < \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 9

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$

Étape 10