Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{6 x}{2^{4 x^{2}}}$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int \frac{x}{2^{4 x^{2}}} d x$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Inversez l’exposant de $2^{4 x^{2}}$ et placez-le hors du dénominateur.

$6 \int x {(2^{4 x^{2}})}^{- 1} d x$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{4 x^{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int x \cdot 2^{4 x^{2} \cdot - 1} d x$

Étape 2.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$6 \int x \cdot 2^{- 4 x^{2}} d x$

Étape 3

Laissez $u = - 4 x^{2}$ . Alors $d u = - 8 x d x$ , donc $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = - 4 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $- 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 3.1.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 (2 x)$

Étape 3.1.4

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 8 x$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$6 \int 2^{u} \frac{1}{- 8} d u$

Étape 4

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 \int 2^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Étape 4.2

Associez $2^{u}$ et $\frac{1}{8}$ .

$6 \int - \frac{2^{u}}{8} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$6 (- \int \frac{2^{u}}{8} d u)$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 \int \frac{2^{u}}{8} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$- 6 (\frac{1}{8} \int 2^{u} d u)$

Étape 8

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $- 6$ .

$\frac{- 6}{8} \int 2^{u} d u$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $8$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{2 (- 3)}{8} \int 2^{u} d u$

Étape 8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 4} \int 2^{u} d u$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 4} \int 2^{u} d u$

Étape 8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{4} \int 2^{u} d u$

Étape 8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{4} \int 2^{u} d u$

Étape 9

L’intégrale de $2^{u}$ par rapport à $u$ est $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

Étape 10

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Étape 10.1

Réécrivez $- \frac{3}{4} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ comme $- \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ .

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Étape 10.2

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Étape 10.2.1

Multipliez $\frac{1}{\ln (2)}$ par $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{\ln (2) \cdot 4} \cdot 2^{u} + C$

Étape 10.2.2

Déplacez $4$ à gauche de $\ln (2)$ .

$- \frac{3}{4 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 4 x^{2}$ .

$- \frac{3}{4 \ln (2)} \cdot 2^{- 4 x^{2}} + C$