Calcul infinitésimal Exemples

$2 t e^{2 t}$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int t e^{2 t} d t$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t$ et $d v = e^{2 t}$ .

$2 (t (\frac{1}{2} e^{2 t}) - \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 t}$ .

$2 (t \frac{e^{2 t}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t)$

Étape 3.2

Associez $t$ et $\frac{e^{2 t}}{2}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t)$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 t}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \int \frac{e^{2 t}}{2} d t)$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 t} d t))$

Étape 5

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Étape 6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Étape 10

Réécrivez $2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ comme $2 (\frac{1}{2} t e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$2 (\frac{1}{2} t e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t$ .

$2 (\frac{1}{2} t e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{2 t}) + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $t$ .

$2 (\frac{t}{2} e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{2 t}) + C$

Étape 12.1.2

Associez $\frac{t}{2}$ et $e^{2 t}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 t}) + C$

Étape 12.1.3

Associez $e^{2 t}$ et $\frac{1}{4}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{e^{2 t}}{4}) + C$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{t e^{2 t}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 t}}{4}) + C$

Étape 12.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{t e^{2 t}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 t}}{4}) + C$

Étape 12.3.2

Réécrivez l’expression.

$t e^{2 t} + 2 (- \frac{e^{2 t}}{4}) + C$

Étape 12.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{2 t}}{4}$ dans le numérateur.

$t e^{2 t} + 2 \frac{- e^{2 t}}{4} + C$

Étape 12.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$t e^{2 t} + 2 \frac{- e^{2 t}}{2 (2)} + C$

Étape 12.4.3

Annulez le facteur commun.

$t e^{2 t} + 2 \frac{- e^{2 t}}{2 \cdot 2} + C$

Étape 12.4.4

Réécrivez l’expression.

$t e^{2 t} + \frac{- e^{2 t}}{2} + C$

Étape 12.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$t e^{2 t} - \frac{e^{2 t}}{2} + C$

Étape 12.6

Pour écrire $t e^{2 t}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$t e^{2 t} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 t}}{2} + C$

Étape 12.7

Associez $t e^{2 t}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t e^{2 t} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 t}}{2} + C$

Étape 12.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{t e^{2 t} \cdot 2 - e^{2 t}}{2} + C$

Étape 12.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.9.1

Déplacez $2$ à gauche de $t e^{2 t}$ .

$\frac{2 \cdot (t e^{2 t}) - e^{2 t}}{2} + C$

Étape 12.9.2

Factorisez $e^{2 t}$ à partir de $2 t e^{2 t} - e^{2 t}$ .

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Étape 12.9.2.1

Factorisez $e^{2 t}$ à partir de $2 t e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} (2 t) - e^{2 t}}{2} + C$

Étape 12.9.2.2

Factorisez $e^{2 t}$ à partir de $- e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} (2 t) + e^{2 t} \cdot - 1}{2} + C$

Étape 12.9.2.3

Factorisez $e^{2 t}$ à partir de $e^{2 t} (2 t) + e^{2 t} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{2 t} (2 t - 1)}{2} + C$

$\frac{1}{2} e^{2 t} (2 t - 1) + C$