Calcul infinitésimal Exemples

$4 \sin^{2} (π x) \cos^{5} (π x)$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \sin^{2} (π x) \cos^{5} (π x) d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = π x$ . Alors $d u_{1} = π d x$ , donc $\frac{1}{π} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = π x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Étape 2.1.2

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$4 \int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1}) \frac{1}{π} d u_{1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{π}$ et $\sin^{2} (u_{1})$ .

$4 \int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{π} \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 3.2

Associez $\frac{\sin^{2} (u_{1})}{π}$ et $\cos^{5} (u_{1})$ .

$4 \int \frac{\sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1})}{π} d u_{1}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1}) d u_{1})$

Étape 5

Associez $\frac{1}{π}$ et $4$ .

$\frac{4}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6

Factorisez $\cos^{4} (u_{1})$ .

$\frac{4}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) (\cos^{4} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{4}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) ({\cos (u_{1})}^{2 (2)} \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 7.2

Réécrivez ${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$\frac{4}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) ({(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 8

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cos^{2} (u_{1})$ comme $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{4}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) ({(1 - \sin^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 9

Laissez $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , donc $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 9.1

Laissez $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Étape 9.1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Étape 10

Développez ${u_{2}}^{2} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

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Étape 10.1

Réécrivez ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ comme $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} ((1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Étape 10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Étape 10.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Étape 10.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2})) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Étape 10.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (1 (- {u_{2}}^{2})) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Étape 10.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (1 (- {u_{2}}^{2})) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Étape 10.8

Déplacez ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{4}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (1 (- {u_{2}}^{2})) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Étape 10.9

Déplacez les parenthèses.

$\frac{4}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (1 \cdot - 1) {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Étape 10.10

Déplacez ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{4}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Étape 10.11

Déplacez ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{4}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2}) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Étape 10.12

Déplacez les parenthèses.

$\frac{4}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot 1) {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Étape 10.13

Déplacez ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{4}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Étape 10.14

Déplacez ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{4}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Étape 10.15

Déplacez les parenthèses.

$\frac{4}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 10.16

Déplacez les parenthèses.

$\frac{4}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot - 1) {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 10.17

Déplacez ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{4}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 10.18

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{4}{π} \int 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 10.19

Multipliez ${u_{2}}^{2}$ par $1$ .

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 10.20

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 10.21

Factorisez le signe négatif.

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} - ({u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2}) - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 10.22

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2 + 2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 10.23

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 10.24

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 10.25

Factorisez le signe négatif.

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - ({u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2}) - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 10.26

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 10.27

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 10.28

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 10.29

Multipliez ${u_{2}}^{2}$ par $1$ .

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 10.30

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{2 + 2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 10.31

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{4} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 10.32

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{4 + 2} d u_{2}$

Étape 10.33

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{6} d u_{2}$

Étape 10.34

Soustrayez ${u_{2}}^{4}$ de $- {u_{2}}^{4}$ .

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} - 2 {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{6} d u_{2}$

Étape 10.35

Remettez dans l’ordre $- 2 {u_{2}}^{4}$ et ${u_{2}}^{6}$ .

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{6} - 2 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 10.36

Déplacez ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{4}{π} \int {u_{2}}^{6} - 2 {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 11

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{4}{π} (\int {u_{2}}^{6} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{6}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ .

$\frac{4}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C + \int - 2 {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 13

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C - 2 \int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{4}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{4}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C) + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{4}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C) + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Simplifiez

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Étape 16.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et ${u_{2}}^{5}$ .

$\frac{4}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Étape 16.1.2

Associez $\frac{1}{7}$ et ${u_{2}}^{7}$ .

$\frac{4}{π} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Étape 16.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{4}{π} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C) + \frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C)$

Étape 16.2

Simplifiez

$\frac{4}{π} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7} - \frac{2 {u_{2}}^{5}}{5} + \frac{{u_{2}}^{3}}{3}) + C$

Étape 17

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 17.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (u_{1})$ .

$\frac{4}{π} (\frac{\sin^{7} (u_{1})}{7} - \frac{2 \sin^{5} (u_{1})}{5} + \frac{\sin^{3} (u_{1})}{3}) + C$

Étape 17.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $π x$ .

$\frac{4}{π} (\frac{\sin^{7} (π x)}{7} - \frac{2 \sin^{5} (π x)}{5} + \frac{\sin^{3} (π x)}{3}) + C$

Étape 18

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4}{π} (\frac{1}{7} \sin^{7} (π x) - \frac{2}{5} \sin^{5} (π x) + \frac{1}{3} \sin^{3} (π x)) + C$