Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{x} (x^{2} + 4 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2} + 4 x$ et $d v = \sqrt{x}$ .

$(x^{2} + 4 x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} (2 x + 4) d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} (2 x + 4) d x$

Étape 2.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (2 x + 4) d x$

Étape 3

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (2 x) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 4 d x$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ et $2$ .

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} x + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 4 d x$

Étape 3.3

Remettez dans l’ordre $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ et $4$ .

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} x + 4 \cdot \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Étape 3.4

Associez $2$ et $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} x + 4 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} x + 4 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Étape 3.6

Associez $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ et $x$ .

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}} x}{3} + 4 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Étape 3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 (x^{\frac{3}{2}} x^{1})}{3} + 4 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Étape 3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 x^{\frac{3}{2} + 1}}{3} + 4 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Étape 3.9

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 x^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3} + 4 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Étape 3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 x^{\frac{3 + 2}{2}}}{3} + 4 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Étape 3.11

Additionnez $3$ et $2$ .

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + 4 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Étape 3.12

Associez $4$ et $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{4 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} d x$

Étape 3.13

Multipliez $4$ par $2$ .

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} d x + \int \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Étape 5

Comme $\frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{4}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \int x^{\frac{5}{2}} d x + \int \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C) + \int \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Étape 7

Associez $\frac{2}{7}$ et $x^{\frac{7}{2}}$ .

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Étape 8

Comme $\frac{8}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{8}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{8}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{8}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C))$

Étape 10

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Étape 10.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $x^{\frac{5}{2}}$ .

$(x^{2} + 4 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{8}{3} (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Étape 10.2

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$\frac{x^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{8}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 10.3

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Étape 10.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{8}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 10.3.2

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$ .

$\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{4 (2 x^{\frac{7}{2}})}{3 \cdot 7} + \frac{8}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 10.3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{8 x^{\frac{7}{2}}}{3 \cdot 7} + \frac{8}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 10.3.4

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{8 x^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{8}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 10.3.5

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{8 x^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{8 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}) + C$

Étape 10.3.6

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{8 x^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{16 x^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5}) + C$

Étape 10.3.7

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{8 x^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{16 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Étape 10.3.8

Pour écrire $- (\frac{8 x^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{16 x^{\frac{5}{2}}}{15})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{8 x^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{16 x^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Étape 10.3.9

Associez $- (\frac{8 x^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{16 x^{\frac{5}{2}}}{15})$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{- (\frac{8 x^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{16 x^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Étape 10.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x^{\frac{7}{2}} - (\frac{8 x^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{16 x^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Étape 10.3.11

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{\frac{7}{2}} - 3 (\frac{8 x^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{16 x^{\frac{5}{2}}}{15})}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Étape 10.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} (2 x^{\frac{7}{2}} - 3 (\frac{8}{21} x^{\frac{7}{2}} + \frac{16}{15} x^{\frac{5}{2}})) + \frac{8}{3} x^{\frac{5}{2}} + C$