Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{x^{4} - 1}$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2})}^{2} - 1}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2})}^{2} - 1^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 1$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)}$

Étape 1.1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.1.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})}$

Étape 1.1.1.4.2

Factorisez.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))}$

Étape 1.1.1.4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}$

Étape 1.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur est du deuxième degré, les termes $2$ sont requis dans le numérateur. Le nombre de termes requis dans le numérateur est toujours égal au degré du facteur dans le dénominateur.

$\frac{A x + B}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.3

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $C$ .

$\frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 1.1.4

$\frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x - 1}$

Étape 1.1.5

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.6

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 1.1.6.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(1 (x + 1)) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.7

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 1.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.8

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 1.1.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.8.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.9.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 1.1.9.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.1.2

Divisez $((A x + B) (x + 1)) (x - 1)$ par $1$ .

$1 = ((A x + B) (x + 1)) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.2

Développez $(A x + B) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.9.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = (A x (x + 1) + B (x + 1)) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = (A x \cdot x + A x \cdot 1 + B (x + 1)) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 = (A x \cdot x + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.9.3.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.9.3.1.1

Déplacez $x$ .

$1 = (A (x \cdot x) + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 = (A x^{2} + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.3.2

Multipliez $A$ par $1$ .

$1 = (A x^{2} + A x + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.3.3

Multipliez $B$ par $1$ .

$1 = (A x^{2} + A x + B x + B) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.4

Développez $(A x^{2} + A x + B x + B) (x - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$1 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + B x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.5

Associez les termes opposés dans $A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + B x + B \cdot - 1$ .

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Étape 1.1.9.5.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $B x \cdot - 1$ et $B x$ .

$1 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x - B x + B x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.5.2

Additionnez $- B x$ et $B x$ .

$1 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + 0 + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.5.3

Additionnez $A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x$ et $0$ .

$1 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.9.6.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.9.6.1.1

Déplacez $x$ .

$1 = A (x \cdot x^{2}) + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.6.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.9.6.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$1 = A (x \cdot x^{2}) + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 = A x^{1 + 2} + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.6.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$1 = A x^{3} + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $A x^{2}$ .

$1 = A x^{3} - 1 \cdot (A x^{2}) + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.6.3

Réécrivez $- 1 (A x^{2})$ comme $- (A x^{2})$ .

$1 = A x^{3} - (A x^{2}) + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.6.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.9.6.4.1

Déplacez $x$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A (x \cdot x) + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.6.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.6.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $A x$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - 1 \cdot (A x) + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.6.6

Réécrivez $- 1 (A x)$ comme $- (A x)$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - (A x) + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.6.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.9.6.7.1

Déplacez $x$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B (x \cdot x) + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.6.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.6.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $B$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} - 1 \cdot B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.6.9

Réécrivez $- 1 B$ comme $- B$ .

$1 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.7

Associez les termes opposés dans $A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} - B$ .

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Étape 1.1.9.7.1

Additionnez $- A x^{2}$ et $A x^{2}$ .

$1 = A x^{3} + 0 - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.7.2

Additionnez $A x^{3}$ et $0$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.8

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 1.1.9.8.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.8.2

Divisez $(C) (x^{2} + 1) (x - 1)$ par $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + (C) (x^{2} + 1) (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.9

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + (C x^{2} + C \cdot 1) (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.10

Multipliez $C$ par $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + (C x^{2} + C) (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.11

Développez $(C x^{2} + C) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.9.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{2} (x - 1) + C (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 1 + C (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.9.12.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.9.12.1.1

Déplacez $x$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.12.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.9.12.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.12.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{1 + 2} + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.12.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.12.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $C x^{2}$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - 1 \cdot (C x^{2}) + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.12.3

Réécrivez $- 1 (C x^{2})$ comme $- (C x^{2})$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - (C x^{2}) + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.12.4

Déplacez $- 1$ à gauche de $C$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - 1 \cdot C + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.12.5

Réécrivez $- 1 C$ comme $- C$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.13

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.9.13.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.1.9.13.2

Divisez $(D) (x^{2} + 1) (x + 1)$ par $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + (D) (x^{2} + 1) (x + 1)$

Étape 1.1.9.14

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + (D x^{2} + D \cdot 1) (x + 1)$

Étape 1.1.9.15

Multipliez $D$ par $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + (D x^{2} + D) (x + 1)$

Étape 1.1.9.16

Développez $(D x^{2} + D) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.9.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{2} (x + 1) + D (x + 1)$

Étape 1.1.9.16.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{2} x + D x^{2} \cdot 1 + D (x + 1)$

Étape 1.1.9.16.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{2} x + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Étape 1.1.9.17

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.9.17.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.9.17.1.1

Déplacez $x$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D (x \cdot x^{2}) + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Étape 1.1.9.17.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.9.17.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D (x \cdot x^{2}) + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Étape 1.1.9.17.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{1 + 2} + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Étape 1.1.9.17.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Étape 1.1.9.17.2

Multipliez $D$ par $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D \cdot 1$

Étape 1.1.9.17.3

Multipliez $D$ par $1$ .

$1 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D$

Étape 1.1.10

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.10.1

Déplacez $A$ .

$1 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D$

Étape 1.1.10.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $x^{2}$ .

$1 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D$

Étape 1.1.10.3

Déplacez $- C$ .

$1 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x + D x^{3} + D x^{2} + D x - C + D$

Étape 1.1.10.4

Déplacez $- B$ .

$1 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} + C x^{3} - C x^{2} + C x + D x^{3} + D x^{2} + D x - B - C + D$

Étape 1.1.10.5

Déplacez $C x$ .

$1 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} + C x^{3} - C x^{2} + D x^{3} + D x^{2} + C x + D x - B - C + D$

Étape 1.1.10.6

Déplacez $- 1 x A$ .

$1 = A x^{3} + B x^{2} + C x^{3} - C x^{2} + D x^{3} + D x^{2} - 1 x A + C x + D x - B - C + D$

Étape 1.1.10.7

Déplacez $- C x^{2}$ .

$1 = A x^{3} + B x^{2} + C x^{3} + D x^{3} - C x^{2} + D x^{2} - 1 x A + C x + D x - B - C + D$

Étape 1.1.10.8

Déplacez $B x^{2}$ .

$1 = A x^{3} + C x^{3} + D x^{3} + B x^{2} - C x^{2} + D x^{2} - 1 x A + C x + D x - B - C + D$

Étape 1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{3}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + C + D$

Étape 1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = B - 1 C + D$

Étape 1.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = - 1 A + C + D$

Étape 1.2.4

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.2.5

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + C + D$

$0 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = A + C + D$

$0 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3

Résolvez le système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Résolvez $A$ dans $0 = A + C + D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + C + D = 0$ .

$A + C + D = 0$

$0 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.2.1

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$A + D = - C$

$0 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.1.2.2

Soustrayez $D$ des deux côtés de l’équation.

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- C - D$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = - 1 A + C + D$ par $- C - D$ .

$0 = - 1 (- C - D) + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1

Simplifiez $- 1 (- C - D) + C + D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 = - 1 (- C) - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.2.2.1.1.2

Multipliez $- 1 (- C)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 = 1 C - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.2.2.1.1.2.2

Multipliez $C$ par $1$ .

$0 = C - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = C - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.2.2.1.1.3

Multipliez $- 1 (- D)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 = C + 1 D + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.2.2.1.1.3.2

Multipliez $D$ par $1$ .

$0 = C + D + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = C + D + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = C + D + C + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.2.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1.2.1

Additionnez $C$ et $C$ .

$0 = 2 C + D + D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.2.2.1.2.2

Additionnez $D$ et $D$ .

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.3

Résolvez $C$ dans $0 = 2 C + 2 D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $2 C + 2 D = 0$ .

$2 C + 2 D = 0$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $2 D$ des deux côtés de l’équation.

$2 C = - 2 D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.3.3

Divisez chaque terme dans $2 C = - 2 D$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 C = - 2 D$ par $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.3.3.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$C = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$C = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 D$ .

$C = \frac{2 (- D)}{2}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.3.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$C = \frac{2 (- D)}{2 (1)}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.3.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$C = \frac{2 (- D)}{2 \cdot 1}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.3.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$C = \frac{- D}{1}$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.3.3.3.1.2.4

Divisez $- D$ par $1$ .

$C = - D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $- D$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $A = - C - D$ par $- D$ .

$A = - (- D) - D$

$C = - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1

Simplifiez $- (- D) - D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1.1

Multipliez $- (- D)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A = 1 D - D$

$C = - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.4.2.1.1.2

Multipliez $D$ par $1$ .

$A = D - D$

$C = - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$A = D - D$

$C = - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.4.2.1.2

Soustrayez $D$ de $D$ .

$A = 0$

$C = - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$A = 0$

$C = - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$A = 0$

$C = - D$

$0 = B - 1 C + D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $0 = B - 1 C + D$ par $- D$ .

$0 = B - 1 (- D) + D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.4.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.4.1

Simplifiez $B - 1 (- D) + D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.4.1.1

Multipliez $- 1 (- D)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.4.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 = B + 1 D + D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.4.4.1.1.2

Multipliez $D$ par $1$ .

$0 = B + D + D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = B + D + D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.4.4.1.2

Additionnez $D$ et $D$ .

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - 1 B - 1 C + D$

Étape 1.3.4.5

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $1 = - 1 B - 1 C + D$ par $- D$ .

$1 = - 1 B - 1 (- D) + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Étape 1.3.4.6

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.6.1

Simplifiez $- 1 B - 1 (- D) + D$ .

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Étape 1.3.4.6.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.6.1.1.1

Réécrivez $- 1 B$ comme $- B$ .

$1 = - B - 1 (- D) + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Étape 1.3.4.6.1.1.2

Multipliez $- 1 (- D)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.6.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 = - B + 1 D + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Étape 1.3.4.6.1.1.2.2

Multipliez $D$ par $1$ .

$1 = - B + D + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - B + D + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - B + D + D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Étape 1.3.4.6.1.2

Additionnez $D$ et $D$ .

$1 = - B + 2 D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - B + 2 D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - B + 2 D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = - B + 2 D$

$0 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Étape 1.3.5

Résolvez $B$ dans $0 = B + 2 D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $B + 2 D = 0$ .

$B + 2 D = 0$

$1 = - B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Étape 1.3.5.2

Soustrayez $2 D$ des deux côtés de l’équation.

$B = - 2 D$

$1 = - B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$B = - 2 D$

$1 = - B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Étape 1.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $- 2 D$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $1 = - B + 2 D$ par $- 2 D$ .

$1 = - (- 2 D) + 2 D$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Étape 1.3.6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.2.1

Simplifiez $- (- 2 D) + 2 D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$1 = 2 D + 2 D$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Étape 1.3.6.2.1.2

Additionnez $2 D$ et $2 D$ .

$1 = 4 D$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = 4 D$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = 4 D$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$1 = 4 D$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Étape 1.3.7

Résolvez $D$ dans $1 = 4 D$ .

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Étape 1.3.7.1

Réécrivez l’équation comme $4 D = 1$ .

$4 D = 1$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Étape 1.3.7.2

Divisez chaque terme dans $4 D = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.3.7.2.1

Divisez chaque terme dans $4 D = 1$ par $4$ .

$\frac{4 D}{4} = \frac{1}{4}$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Étape 1.3.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 D}{4} = \frac{1}{4}$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Étape 1.3.7.2.2.1.2

Divisez $D$ par $1$ .

$D = \frac{1}{4}$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Étape 1.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $D$ par $\frac{1}{4}$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.8.1

Remplacez toutes les occurrences de $D$ dans $B = - 2 D$ par $\frac{1}{4}$ .

$B = - 2 (\frac{1}{4})$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

Étape 1.3.8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.8.2.1

Simplifiez $- 2 (\frac{1}{4})$ .

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Étape 1.3.8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.8.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$B = 2 (- 1) (\frac{1}{4})$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

Étape 1.3.8.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$B = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

Étape 1.3.8.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$B = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

Étape 1.3.8.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$B = - 1 (\frac{1}{2})$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

$B = - 1 (\frac{1}{2})$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

Étape 1.3.8.2.1.2

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$B = - \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

$B = - \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

$B = - \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - D$

Étape 1.3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $D$ dans $C = - D$ par $\frac{1}{4}$ .

$C = - (\frac{1}{4})$

$B = - \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

Étape 1.3.8.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.8.4.1

Multipliez $- 1$ par $\frac{1}{4}$ .

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$A = 0$

Étape 1.3.9

Indiquez toutes les solutions.

$C = - \frac{1}{4}, B = - \frac{1}{2}, D = \frac{1}{4}, A = 0$

Étape 1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x - 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ , $C$ et $D$ .

$\frac{0 x - \frac{1}{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $2$ .

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Étape 1.5.1.1

Multipliez $\frac{0 \cdot x - \frac{1}{2}}{x^{2} + 1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{0 \cdot x - \frac{1}{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Étape 1.5.1.2

Associez.

$\frac{2 (0 \cdot x - \frac{1}{2})}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (0 \cdot x) + 2 (- \frac{1}{2})}{2 x^{2} + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{2 (0 \cdot x) + 2 (\frac{- 1}{2})}{2 x^{2} + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Étape 1.5.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (0 \cdot x) + 2 (\frac{- 1}{2})}{2 x^{2} + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Étape 1.5.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (0 \cdot x) - 1}{2 x^{2} + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Étape 1.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.4.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 \cdot x - 1}{2 x^{2} + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Étape 1.5.4.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$\frac{0 - 1}{2 x^{2} + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Étape 1.5.4.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{2 x^{2} + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Étape 1.5.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.5.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 \cdot 1$ .

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Étape 1.5.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 1}{2 (x^{2}) + 2 \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Étape 1.5.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$\frac{- 1}{2 (x^{2}) + 2 (1)} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Étape 1.5.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{- 1}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Étape 1.5.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Étape 1.5.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Étape 1.5.7

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} - \frac{1}{(x + 1) \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Étape 1.5.8

Déplacez $4$ à gauche de $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} - \frac{1}{4 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1}$

Étape 1.5.9

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} - \frac{1}{4 (x + 1)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Étape 1.5.10

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{x - 1}$ .

$\int - \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} - \frac{1}{4 (x + 1)} + \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x) + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Étape 5.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C$ .

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) - \int \frac{1}{4 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Étape 8

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Étape 9

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 9.1

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 9.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 9.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 9.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Étape 10

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x$

Étape 11

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} d x$

Étape 12

Laissez $u_{2} = x - 1$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 12.1

Laissez $u_{2} = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 12.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 12.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 12.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 12.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 12.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 13

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\arctan (x) + C) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 14

Simplifiez

$- \frac{1}{2} \arctan (x) - \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 15

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 15.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + 1$ .

$- \frac{1}{2} \arctan (x) - \frac{1}{4} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 15.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 1$ .

$- \frac{1}{2} \arctan (x) - \frac{1}{4} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 1 |) + C$