Calcul infinitésimal Exemples

$\cot (θ) (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) = \tan (θ) \sin^{2} (θ)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\cot (θ) (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Réécrivez $\cot (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\tan (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} ({(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - \sin^{2} (θ))$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \sin^{2} (θ))$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \sin^{2} (θ))$

Étape 2.4

Associez.

$\frac{\cos (θ) \sin^{2} (θ)}{\sin (θ) \cos^{2} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \sin^{2} (θ))$

Étape 2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\cos (θ) \sin^{2} (θ)}{\sin (θ) \cos^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Étape 2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun à $\cos (θ)$ et $\cos^{2} (θ)$ .

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Étape 2.6.1.1

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $\cos (θ) \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) (\sin^{2} (θ))}{\sin (θ) \cos^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Étape 2.6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.1.2.1

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $\sin (θ) \cos^{2} (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) (\sin^{2} (θ))}{\cos (θ) (\sin (θ) \cos (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Étape 2.6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (θ) \sin^{2} (θ)}{\cos (θ) (\sin (θ) \cos (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Étape 2.6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Étape 2.6.2

Annulez le facteur commun à $\sin^{2} (θ)$ et $\sin (θ)$ .

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Étape 2.6.2.1

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Étape 2.6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.2.2.1

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $\sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) (\cos (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Étape 2.6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Étape 2.6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Étape 2.6.3

Annulez le facteur commun de $\sin (θ)$ .

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Étape 2.6.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ dans le numérateur.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Étape 2.6.3.2

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\sin (θ)} (\sin (θ) \sin (θ))$

Étape 2.6.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\sin (θ)} (\sin (θ) \sin (θ))$

Étape 2.6.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \cos (θ) \sin (θ)$

Étape 3

Écrivez $- \cos (θ) \sin (θ)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1}$

Étape 4

Additionnez des fractions.

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Étape 4.1

Pour écrire $\frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1}$ par $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ) \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (θ) - \cos (θ) \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 5

Multipliez $- \cos (θ) \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) - \cos^{2} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 6

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{\sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $\sin (θ) - (1 - {\sin (θ)}^{2}) \sin (θ)$ .

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Étape 7.1.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 - (1 - {\sin (θ)}^{2}) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 7.1.1.2

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $- (1 - {\sin (θ)}^{2}) \sin (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- (1 - {\sin (θ)}^{2}))}{\cos (θ)}$

Étape 7.1.1.3

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- (1 - {\sin (θ)}^{2}))$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - (1 - {\sin (θ)}^{2}))}{\cos (θ)}$

Étape 7.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 \cdot 1 - - {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Étape 7.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 - - {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Étape 7.1.4

Multipliez $- - {\sin (θ)}^{2}$ .

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Étape 7.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 + 1 {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Étape 7.1.4.2

Multipliez ${\sin (θ)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 + {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Étape 7.1.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{\sin (θ) (0 + {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Étape 7.1.6

Additionnez $0$ et ${\sin (θ)}^{2}$ .

$\frac{\sin (θ) {\sin (θ)}^{2}}{\cos (θ)}$

Étape 7.2

Multipliez $\sin (θ)$ par ${\sin (θ)}^{2}$ en additionnant les exposants.

$\frac{\sin^{3} (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 8

Réécrivez $\frac{\sin^{3} (θ)}{\cos (θ)}$ comme $\tan (θ) \sin^{2} (θ)$ .

$\tan (θ) \sin^{2} (θ)$

Étape 9

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cot (θ) (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) = \tan (θ) \sin^{2} (θ)$ est une identité