Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} ((x + 2) (x + 2))]$

Étape 1.1.1.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x (x + 2) + 2 (x + 2))]$

Étape 1.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))]$

Étape 1.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Étape 1.1.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Étape 1.1.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)]$

Étape 1.1.1.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 4 x + 4)]$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(x + 1)}^{3}$ et $g (x) = x^{2} + 4 x + 4$ .

${(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Étape 1.1.1.5

Différenciez.

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Étape 1.1.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

${(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Étape 1.1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Étape 1.1.1.5.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Étape 1.1.1.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Étape 1.1.1.5.5

Multipliez $4$ par $1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Étape 1.1.1.5.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + 0) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Étape 1.1.1.5.7

Additionnez $2 x + 4$ et $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Étape 1.1.1.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 1.1.1.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.1.1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.1.1.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.1.1.7

Différenciez.

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Étape 1.1.1.7.1

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2} + 4 x + 4$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 \cdot (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.1.1.7.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.1.1.7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.1.1.7.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + 0)$

Étape 1.1.1.7.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.7.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \cdot 1$

Étape 1.1.1.7.5.2

Multipliez $3$ par $1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.1.1.8

Simplifiez

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Étape 1.1.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.1.1.8.2

Multipliez $4$ par $3$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.1.1.8.3

Multipliez $3$ par $4$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.1.1.8.4

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 1.1.1.8.4.1

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4)$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.1.1.8.4.2

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de $(3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.4.3

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de ${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.5

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$(x + 1) (x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.6

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1.8.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x (x + 1) + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.1.8.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.8.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.7.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.7.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.7.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.7.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.8.8.1

Développez $(x + 1) (2 x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1.8.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x + 4) + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.8.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.1.8.8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.8.8.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.8.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.8.8.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.8.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.8.2.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.8.2.1.4

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.8.2.1.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.8.2.2

Additionnez $4 x$ et $2 x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 6 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.9

Additionnez $2 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 6 x + 4 + 12 x + 12)$

Étape 1.1.1.8.10

Additionnez $6 x$ et $12 x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 4 + 12)$

Étape 1.1.1.8.11

Additionnez $4$ et $12$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$

Étape 1.1.1.8.12

Développez $(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.8.13.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x^{2} x^{2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.8.13.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{2 + 2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$5 x^{4} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x^{4} + 18 x^{2} x + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.8.13.4.1

Déplacez $x$ .

$5 x^{4} + 18 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.8.13.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 x^{4} + 18 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{4} + 18 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.5

Déplacez $16$ à gauche de $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 \cdot x^{2} + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x \cdot x^{2} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.7

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.8.13.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.1.1.8.13.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x^{1}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{2 + 1} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.8

Multipliez $2$ par $5$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x \cdot x + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.10

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.8.13.10.1

Déplacez $x$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 (x \cdot x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.10.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.11

Multipliez $2$ par $18$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.12

Multipliez $16$ par $2$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.13

Multipliez $5 x^{2}$ par $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.14

Multipliez $18 x$ par $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.1.8.13.15

Multipliez $16$ par $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Étape 1.1.1.8.14

Additionnez $18 x^{3}$ et $10 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 16 x^{2} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Étape 1.1.1.8.15

Additionnez $16 x^{2}$ et $36 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 52 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Étape 1.1.1.8.16

Additionnez $52 x^{2}$ et $5 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 32 x + 18 x + 16$

Étape 1.1.1.8.17

Additionnez $32 x$ et $18 x$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $28$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $28 x^{3}$ par rapport à $x$ est $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$20 x^{3} + 28 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $3$ par $28$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [57 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Comme $57$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $57 x^{2}$ par rapport à $x$ est $57 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 (2 x) + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.1.2.4.3

Multipliez $2$ par $57$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.1.2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [50 x]$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Comme $50$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $50 x$ par rapport à $x$ est $50 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.1.2.5.3

Multipliez $50$ par $1$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.2.6.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + 0$

Étape 1.1.2.6.2

Additionnez $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ et $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $20 x^{3}$ .

$2 (10 x^{3}) + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $84 x^{2}$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 114 x + 50 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $114 x$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 50 = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $50$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2})$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

Étape 1.2.2.1.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x)$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25) = 0$

Étape 1.2.2.1.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25)$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez.

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.2.2.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Étape 1.2.2.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.1, \pm 0.5, \pm 0.2, \pm 25, \pm 2.5, \pm 12.5, \pm 5$

Étape 1.2.2.2.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.2.2.2.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$10 {(- 1)}^{3} + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Étape 1.2.2.2.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$10 \cdot - 1 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Étape 1.2.2.2.1.3.3

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$- 10 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Étape 1.2.2.2.1.3.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 10 + 42 \cdot 1 + 57 \cdot - 1 + 25$

Étape 1.2.2.2.1.3.5

Multipliez $42$ par $1$ .

$- 10 + 42 + 57 \cdot - 1 + 25$

Étape 1.2.2.2.1.3.6

Additionnez $- 10$ et $42$ .

$32 + 57 \cdot - 1 + 25$

Étape 1.2.2.2.1.3.7

Multipliez $57$ par $- 1$ .

$32 - 57 + 25$

Étape 1.2.2.2.1.3.8

Soustrayez $57$ de $32$ .

$- 25 + 25$

Étape 1.2.2.2.1.3.9

Additionnez $- 25$ et $25$ .

$0$

Étape 1.2.2.2.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25}{x + 1}$

Étape 1.2.2.2.1.5

Divisez $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ par $x + 1$ .

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Étape 1.2.2.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$10 x^{3}$

$42 x^{2}$

$57 x$

$25$

Étape 1.2.2.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $10 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$10 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$

Étape 1.2.2.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			+	$10 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $10 x^{3} + 10 x^{2}$

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

Étape 1.2.2.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $32 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

Étape 1.2.2.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					+	$32 x^{2}$	+	$32 x$

Étape 1.2.2.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $32 x^{2} + 32 x$

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$

Étape 1.2.2.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$

Étape 1.2.2.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

Étape 1.2.2.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $25 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

Étape 1.2.2.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							+	$25 x$	+	$25$

Étape 1.2.2.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $25 x + 25$

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$

Étape 1.2.2.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$
										$0$

Étape 1.2.2.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$10 x^{2} + 32 x + 25$

Étape 1.2.2.2.1.6

Écrivez $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ comme un ensemble de facteurs.

$2 ((x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25)) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.5

Définissez $10 x^{2} + 32 x + 25$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $10 x^{2} + 32 x + 25$ égal à $0$ .

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 10$ , $b = 32$ et $c = 25$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (10 \cdot 25)}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.3.1.1

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 40$ par $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.3.1.3

Soustrayez $1000$ de $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.3.1.4

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Étape 1.2.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Étape 1.2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.4.1.1

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 40$ par $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.4.1.3

Soustrayez $1000$ de $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.4.1.4

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Étape 1.2.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Étape 1.2.5.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 16 + \sqrt{6}}{10}$

Étape 1.2.5.2.4.5

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 + \sqrt{6}}{10}$

Étape 1.2.5.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - 1 (- \sqrt{6})}{10}$

Étape 1.2.5.2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (16) - 1 (- \sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (16 - \sqrt{6})}{10}$

Étape 1.2.5.2.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}$

Étape 1.2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.5.1.1

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 40$ par $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.5.1.3

Soustrayez $1000$ de $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.5.1.4

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Étape 1.2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Étape 1.2.5.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Étape 1.2.5.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 16 - \sqrt{6}}{10}$

Étape 1.2.5.2.5.5

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - \sqrt{6}}{10}$

Étape 1.2.5.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - (\sqrt{6})}{10}$

Étape 1.2.5.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (16) - (\sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (16 + \sqrt{6})}{10}$

Étape 1.2.5.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Étape 1.2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$ vraie.

$x = - 1, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}) \cup (- \frac{16 + \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}) \cup (- \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = 20 {(- 4)}^{3} + 84 {(- 4)}^{2} + 114 (- 4) + 50$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = 20 \cdot - 64 + 84 {(- 4)}^{2} + 114 (- 4) + 50$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $20$ par $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 1280 + 84 {(- 4)}^{2} + 114 (- 4) + 50$

Étape 4.2.1.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = - 1280 + 84 \cdot 16 + 114 (- 4) + 50$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $84$ par $16$ .

$f'' (- 4) = - 1280 + 1344 + 114 (- 4) + 50$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $114$ par $- 4$ .

$f'' (- 4) = - 1280 + 1344 - 456 + 50$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Additionnez $- 1280$ et $1344$ .

$f'' (- 4) = 64 - 456 + 50$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $456$ de $64$ .

$f'' (- 4) = - 392 + 50$

Étape 4.2.2.3

Additionnez $- 392$ et $50$ .

$f'' (- 4) = - 342$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 342$ .

$- 342$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10})$ car $f'' (- 4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \frac{16 + \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.6$ dans l’expression.

$f'' (- 1.6) = 20 {(- 1.6)}^{3} + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1.6$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1.6) = 20 \cdot - 4.096 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $20$ par $- 4.096$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 1.6$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 \cdot 2.56 + 114 (- 1.6) + 50$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $84$ par $2.56$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 + 114 (- 1.6) + 50$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $114$ par $- 1.6$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 - 182.4 + 50$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 81.92$ et $215.04$ .

$f'' (- 1.6) = 133.12 - 182.4 + 50$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $182.4$ de $133.12$ .

$f'' (- 1.6) = - 49.28 + 50$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $- 49.28$ et $50$ .

$f'' (- 1.6) = 0.72$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $0.72$ .

$0.72$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \frac{16 + \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10})$ car $f'' (- 1.6)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \frac{16 + \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10})$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.18$ dans l’expression.

$f'' (- 1.18) = 20 {(- 1.18)}^{3} + 84 {(- 1.18)}^{2} + 114 (- 1.18) + 50$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1.18$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1.18) = 20 \cdot - 1.643032 + 84 {(- 1.18)}^{2} + 114 (- 1.18) + 50$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $20$ par $- 1.643032$ .

$f'' (- 1.18) = - 32.86064 + 84 {(- 1.18)}^{2} + 114 (- 1.18) + 50$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 1.18$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.18) = - 32.86064 + 84 \cdot 1.3924 + 114 (- 1.18) + 50$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $84$ par $1.3924$ .

$f'' (- 1.18) = - 32.86064 + 116.9616 + 114 (- 1.18) + 50$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $114$ par $- 1.18$ .

$f'' (- 1.18) = - 32.86064 + 116.9616 - 134.52 + 50$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 32.86064$ et $116.9616$ .

$f'' (- 1.18) = 84.10096 - 134.52 + 50$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $134.52$ de $84.10096$ .

$f'' (- 1.18) = - 50.41904 + 50$

Étape 6.2.2.3

Additionnez $- 50.41904$ et $50$ .

$f'' (- 1.18) = - 0.41904$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 0.41904$ .

$- 0.41904$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - 1)$ car $f'' (- 1.18)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 1, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 20 {(0)}^{3} + 84 {(0)}^{2} + 114 (0) + 50$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 20 \cdot 0 + 84 {(0)}^{2} + 114 (0) + 50$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $20$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 84 {(0)}^{2} + 114 (0) + 50$

Étape 7.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 84 \cdot 0 + 114 (0) + 50$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $84$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 114 (0) + 50$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $114$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 0 + 50$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 50$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (0) = 0 + 50$

Étape 7.2.2.3

Additionnez $0$ et $50$ .

$f'' (0) = 50$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $50$ .

$50$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 1, \infty)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 1, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- \frac{16 + \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10})$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- 1, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9