Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{(5 \ln (x))}{x}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 \ln (x)}{x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x$ .

$5 \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$5 \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.1.4.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$5 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$5 \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.4.4

Associez les fractions.

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Étape 1.1.1.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$5 \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.4.4.2

Associez $5$ et $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{5 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- \ln (x))}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.5.2.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{5 + 5 (- \ln (x))}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.5.2.2

Multipliez $5 (- \ln (x))$ .

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Étape 1.1.1.5.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{5 - 5 \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.5.2.2.2

Simplifiez $- 5 \ln (x)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$f' (x) = \frac{5 - \ln (x^{5})}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 - \ln (x^{5})] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 - \ln (x^{5})] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 - \ln (x^{5})] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - \ln (x^{5})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{5})]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{5})]) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.2.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{5})]) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.2.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{5})]$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [- \ln (x^{5})] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x^{5})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]$ .

$\frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{5}$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{5}$ .

$\frac{x^{2} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}])) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{2} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{5}])) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5}$ .

$\frac{x^{2} (- (\frac{1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}])) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.2.4.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- \frac{x^{2}}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{5}$ .

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Étape 1.1.2.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.4.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{5}] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{5}] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{5}] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{- \frac{1}{x^{3}} (5 x^{4}) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.2.4.4.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 \frac{1}{x^{3}} x^{4} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4.4.2

Associez $- 5$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{- 5}{x^{3}} x^{4} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4.4.3

Associez $\frac{- 5}{x^{3}}$ et $x^{4}$ .

$\frac{\frac{- 5 x^{4}}{x^{3}} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4.4.4

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{3}$ .

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Étape 1.1.2.4.4.4.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 5 x^{4}$ .

$\frac{\frac{x^{3} (- 5 x)}{x^{3}} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.4.4.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\frac{x^{3} (- 5 x)}{x^{3} \cdot 1} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x^{3} (- 5 x)}{x^{3} \cdot 1} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- 5 x}{1} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4.4.4.2.4

Divisez $- 5 x$ par $1$ .

$\frac{- 5 x - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{- 5 x - (5 - \ln (x^{5})) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1.2.4.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 x - 2 (5 - \ln (x^{5})) x}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4.6.2

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x - 2 (5 - \ln (x^{5})) x$ .

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Étape 1.1.2.4.6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{x \cdot - 5 - 2 (5 - \ln (x^{5})) x}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 (5 - \ln (x^{5})) x$ .

$\frac{x \cdot - 5 + x (- 2 (5 - \ln (x^{5})))}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4.6.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot - 5 + x (- 2 (5 - \ln (x^{5})))$ .

$\frac{x (- 5 - 2 (5 - \ln (x^{5})))}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (- 5 - 2 (5 - \ln (x^{5})))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 1.1.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- 5 - 2 (5 - \ln (x^{5})))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 1.1.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5 - 2 (5 - \ln (x^{5}))}{x^{3}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez

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Étape 1.1.2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 5 - 2 \cdot 5 - 2 (- \ln (x^{5}))}{x^{3}}$

Étape 1.1.2.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.6.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{- 5 - 10 - 2 (- \ln (x^{5}))}{x^{3}}$

Étape 1.1.2.6.2.1.2

Multipliez $- 2 (- \ln (x^{5}))$ .

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Étape 1.1.2.6.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 5 - 10 + 2 \ln (x^{5})}{x^{3}}$

Étape 1.1.2.6.2.1.2.2

Simplifiez $2 \ln (x^{5})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{- 5 - 10 + \ln ({(x^{5})}^{2})}{x^{3}}$

Étape 1.1.2.6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 5 - 10 + \ln (x^{5 \cdot 2})}{x^{3}}$

Étape 1.1.2.6.2.1.3.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{- 5 - 10 + \ln (x^{10})}{x^{3}}$

Étape 1.1.2.6.2.2

Soustrayez $10$ de $- 5$ .

$\frac{- 15 + \ln (x^{10})}{x^{3}}$

Étape 1.1.2.6.3

Réécrivez $- 15$ comme $- 1 (15)$ .

$\frac{- 1 (15) + \ln (x^{10})}{x^{3}}$

Étape 1.1.2.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (x^{10})$ .

$\frac{- 1 (15) - 1 (- \ln (x^{10}))}{x^{3}}$

Étape 1.1.2.6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (15) - 1 (- \ln (x^{10}))$ .

$\frac{- 1 (15 - \ln (x^{10}))}{x^{3}}$

Étape 1.1.2.6.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{15 - \ln (x^{10})}{x^{3}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{15 - \ln (x^{10})}{x^{3}}$ .

$- \frac{15 - \ln (x^{10})}{x^{3}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{15 - \ln (x^{10})}{x^{3}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{15 - \ln (x^{10})}{x^{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$15 - \ln (x^{10}) = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Soustrayez $15$ des deux côtés de l’équation.

$- \ln (x^{10}) = - 15$

Étape 1.2.3.2

Divisez chaque terme dans $- \ln (x^{10}) = - 15$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (x^{10}) = - 15$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{10})}{- 1} = \frac{- 15}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (x^{10})}{1} = \frac{- 15}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Divisez $\ln (x^{10})$ par $1$ .

$\ln (x^{10}) = \frac{- 15}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.3.1

Divisez $- 15$ par $- 1$ .

$\ln (x^{10}) = 15$

Étape 1.2.3.3

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{10})} = e^{15}$

Étape 1.2.3.4

Réécrivez $\ln (x^{10}) = 15$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{15} = x^{10}$

Étape 1.2.3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $x^{10} = e^{15}$ .

$x^{10} = e^{15}$

Étape 1.2.3.5.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[10]{e^{15}}$

Étape 1.2.3.5.3

Simplifiez $\pm \sqrt[10]{e^{15}}$ .

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Étape 1.2.3.5.3.1

Factorisez $e^{10}$ .

$x = \pm \sqrt[10]{e^{10} e^{5}}$

Étape 1.2.3.5.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm e \sqrt[10]{e^{5}}$

Étape 1.2.3.5.3.3

Réécrivez $\sqrt[10]{e^{5}}$ comme $\sqrt{\sqrt[5]{e^{5}}}$ .

$x = \pm e \sqrt{\sqrt[5]{e^{5}}}$

Étape 1.2.3.5.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = \pm e \sqrt{e}$

Étape 1.2.3.5.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.3.5.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = e \sqrt{e}$

Étape 1.2.3.5.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - e \sqrt{e}$

Étape 1.2.3.5.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = e \sqrt{e}, - e \sqrt{e}$

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{5 \ln (x)}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x > 0$

Étape 2.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{5 \ln (x)}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0}$

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(0, e \sqrt{e}) \cup (e \sqrt{e}, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, e \sqrt{e})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = - \frac{15 - \ln ({(2)}^{10})}{{(2)}^{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Élevez $2$ à la puissance $10$ .

$f'' (2) = - \frac{15 - \ln (1024)}{2^{3}}$

Étape 4.2.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (2) = - \frac{15 - \ln (1024)}{8}$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- \frac{15 - \ln (1024)}{8}$ .

$- \frac{15 - \ln (1024)}{8}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(0, e \sqrt{e})$ car $f'' (2)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(0, e \sqrt{e})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(e \sqrt{e}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f'' (7) = - \frac{15 - \ln ({(7)}^{10})}{{(7)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Élevez $7$ à la puissance $10$ .

$f'' (7) = - \frac{15 - \ln (282475249)}{7^{3}}$

Étape 5.2.2

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$f'' (7) = - \frac{15 - \ln (282475249)}{343}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- \frac{15 - \ln (282475249)}{343}$ .

$- \frac{15 - \ln (282475249)}{343}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(e \sqrt{e}, \infty)$ car $f'' (7)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(e \sqrt{e}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(0, e \sqrt{e})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(e \sqrt{e}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7