Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{x}^{x^{2}} t^{2} d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale en deux intégrales où $c$ est une valeur comprise entre $x$ et $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} t^{2} d t + \int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\int_{x}^{c} t^{2} d t + \int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} t^{2} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} t^{2} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

Étape 3

Permutez les bornes de l’intégration.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} t^{2} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

Étape 4

Prenez la dérivée de $- \int_{c}^{x} t^{2} d t$ par rapport à $x$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse.

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

Étape 5

Prenez la dérivée de $\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t$ par rapport à $x$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse et la règle d’enchaînement.

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] {(x^{2})}^{2}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 6.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- x^{2} + 2 x {(x^{2})}^{2}$

Étape 6.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2} + 2 x \cdot x^{2 \cdot 2}$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- x^{2} + 2 x \cdot x^{4}$

Étape 7

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1

Déplacez $x^{4}$ .

$- x^{2} + 2 (x^{4} x)$

Étape 7.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- x^{2} + 2 (x^{4} x^{1})$

Étape 7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{2} + 2 x^{4 + 1}$

Étape 7.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$- x^{2} + 2 x^{5}$

Étape 8

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{5} - x^{2}$