Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- x}^{x} (t^{2} + t) d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale en deux intégrales où $c$ est une valeur comprise entre $- x$ et $x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t + \int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t + \int_{c}^{x} t^{2} + t d t$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Étape 3

Permutez les bornes de l’intégration.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{- x} t^{2} + t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Étape 4

Prenez la dérivée de $- \int_{c}^{- x} t^{2} + t d t$ par rapport à $x$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse et la règle d’enchaînement.

$\frac{d}{d x} [- x] (- ({(- x)}^{2} - x)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] (- ({(- x)}^{2} - x)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 (- ({(- x)}^{2} - x)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- - ({(- x)}^{2} - x) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Étape 6

Prenez la dérivée de $\int_{c}^{x} t^{2} + t d t$ par rapport à $x$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse.

$- - ({(- x)}^{2} - x) + x^{2} + x$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- - ({(- (x))}^{2} - x) + x^{2} + x$

Étape 7.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.1

Appliquez la règle de produit à $- (x)$ .

$- - ({(- 1)}^{2} x^{2} - x) + x^{2} + x$

Étape 7.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- - (1 x^{2} - x) + x^{2} + x$

Étape 7.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$- - (x^{2} - x) + x^{2} + x$

Étape 7.2.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (x^{2} - x) + x^{2} + x$

Étape 7.2.5

Multipliez $x^{2} - x$ par $1$ .

$x^{2} - x + x^{2} + x$

Étape 7.3

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$2 x^{2} - x + x$

Étape 7.4

Additionnez $- x$ et $x$ .

$2 x^{2} + 0$

Étape 7.5

Additionnez $2 x^{2}$ et $0$ .

$2 x^{2}$