Calcul infinitésimal Exemples

$\log_{5} (\frac{9 \sqrt[4]{11}}{\sqrt[3]{6}})$

Étape 1

Multipliez $\frac{9 \sqrt[4]{11}}{\sqrt[3]{6}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$\log_{5} (\frac{9 \sqrt[4]{11}}{\sqrt[3]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}})$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Multipliez $\frac{9 \sqrt[4]{11}}{\sqrt[3]{6}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$\log_{5} (\frac{9 \sqrt[4]{11} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{6}}^{2}})$

Étape 2.1.2

Élevez $\sqrt[3]{6}$ à la puissance $1$ .

$\log_{5} (\frac{9 \sqrt[4]{11} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1} {\sqrt[3]{6}}^{2}})$

Étape 2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{5} (\frac{9 \sqrt[4]{11} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1 + 2}})$

Étape 2.1.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\log_{5} (\frac{9 \sqrt[4]{11} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{3}})$

Étape 2.1.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{6}}^{3}$ comme $6$ .

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Étape 2.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{6}$ comme $6^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{5} (\frac{9 \sqrt[4]{11} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Étape 2.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{9 \sqrt[4]{11} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Étape 2.1.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\log_{5} (\frac{9 \sqrt[4]{11} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}})$

Étape 2.1.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{5} (\frac{9 \sqrt[4]{11} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}})$

Étape 2.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{5} (\frac{9 \sqrt[4]{11} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{1}})$

Étape 2.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\log_{5} (\frac{9 \sqrt[4]{11} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6})$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun à $9$ et $6$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9 \sqrt[4]{11} {\sqrt[3]{6}}^{2}$ .

$\log_{5} (\frac{3 (3 \sqrt[4]{11} {\sqrt[3]{6}}^{2})}{6})$

Étape 2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\log_{5} (\frac{3 (3 \sqrt[4]{11} {\sqrt[3]{6}}^{2})}{3 (2)})$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{5} (\frac{3 (3 \sqrt[4]{11} {\sqrt[3]{6}}^{2})}{3 \cdot 2})$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{5} (\frac{3 \sqrt[4]{11} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{2})$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{6^{2}}$ .

$\log_{5} (\frac{3 \sqrt[4]{11} \sqrt[3]{6^{2}}}{2})$

Étape 3.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\log_{5} (\frac{3 \sqrt[4]{11} \sqrt[3]{36}}{2})$

Étape 3.3

Associez les exposants.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $12$ .

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Étape 3.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{36}$ comme $36^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{5} (\frac{3 (36^{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{11})}{2})$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez $36^{\frac{1}{3}}$ comme $36^{\frac{4}{12}}$ .

$\log_{5} (\frac{3 (36^{\frac{4}{12}} \sqrt[4]{11})}{2})$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez $36^{\frac{4}{12}}$ comme $\sqrt[12]{36^{4}}$ .

$\log_{5} (\frac{3 (\sqrt[12]{36^{4}} \sqrt[4]{11})}{2})$

Étape 3.3.1.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{11}$ comme $11^{\frac{1}{4}}$ .

$\log_{5} (\frac{3 (\sqrt[12]{36^{4}} \cdot 11^{\frac{1}{4}})}{2})$

Étape 3.3.1.5

Réécrivez $11^{\frac{1}{4}}$ comme $11^{\frac{3}{12}}$ .

$\log_{5} (\frac{3 (\sqrt[12]{36^{4}} \cdot 11^{\frac{3}{12}})}{2})$

Étape 3.3.1.6

Réécrivez $11^{\frac{3}{12}}$ comme $\sqrt[12]{11^{3}}$ .

$\log_{5} (\frac{3 (\sqrt[12]{36^{4}} \sqrt[12]{11^{3}})}{2})$

Étape 3.3.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\log_{5} (\frac{3 \sqrt[12]{36^{4} \cdot 11^{3}}}{2})$

Étape 3.3.3

Élevez $36$ à la puissance $4$ .

$\log_{5} (\frac{3 \sqrt[12]{1679616 \cdot 11^{3}}}{2})$

Étape 3.3.4

Élevez $11$ à la puissance $3$ .

$\log_{5} (\frac{3 \sqrt[12]{1679616 \cdot 1331}}{2})$

Étape 3.3.5

Multipliez $1679616$ par $1331$ .

$\log_{5} (\frac{3 \sqrt[12]{2235568896}}{2})$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\log_{5} (\frac{3 \sqrt[12]{2235568896}}{2})$

Forme décimale :

$1.36659216 \dots$