Calcul infinitésimal Exemples

$y = x {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Écrivez $y = x {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ comme une fonction.

$f (x) = x {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{1}{3}}] + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = 12 - x$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $12 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $12 - x$ .

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.7

Associez les fractions.

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Étape 2.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(12 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(12 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.7.3

Placez ${(12 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.7.4

Associez $\frac{1}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [12 - x] + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.9

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- 1 \cdot 1) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.13

Associez les fractions.

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Étape 2.1.13.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 1 + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.13.2

Associez $\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ et $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.13.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.13.3.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.13.3.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{- x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.13.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Étape 2.1.15

Multipliez ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$- \frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.1.16

Pour écrire ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.17

Associez ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(12 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.19

Multipliez ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.19.1

Déplacez ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- x + {(12 - x)}^{\frac{2}{3}} {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- x + {(12 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.19.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x + {(12 - x)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.19.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{- x + {(12 - x)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.19.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{- x + {(12 - x)}^{1} \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.20

Simplifiez ${(12 - x)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{- x + (12 - x) \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.21

Déplacez $3$ à gauche de $12 - x$ .

$\frac{- x + 3 \cdot (12 - x)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.22

Simplifiez

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Étape 2.1.22.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x + 3 \cdot 12 + 3 (- x)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.22.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.22.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.22.2.1.1

Multipliez $3$ par $12$ .

$\frac{- x + 36 + 3 (- x)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.22.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- x + 36 - 3 x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.22.2.2

Soustrayez $3 x$ de $- x$ .

$\frac{- 4 x + 36}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.22.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x + 36$ .

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Étape 2.1.22.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 36}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.22.3.2

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.22.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (9)$ .

$\frac{4 (- x + 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.22.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.22.5

Réécrivez $9$ comme $- 1 (- 9)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 9))}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.22.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 9)$ .

$\frac{4 (- (x - 9))}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.22.7

Réécrivez $- (x - 9)$ comme $- 1 (x - 9)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 9))}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.22.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{4 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Comme $- \frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x - 9}{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x - 9}{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 9$ et $g (x) = {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 9] - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{({(12 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Étape 2.2.3

Différenciez.

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Étape 2.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(12 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 9] - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Étape 2.2.3.1.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Étape 2.2.3.1.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $2$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 9] - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Étape 2.2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 9] - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.3.4

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (1 + 0) - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1 - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.3.5.2

Multipliez ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ par $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = 12 - x$ .

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Étape 2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $12 - x$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $12 - x$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.8.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.9

Associez les fractions.

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Étape 2.2.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.9.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(12 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2 {(12 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.9.3

Placez ${(12 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]))}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.11

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.12

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]))}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.14

Multipliez.

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Étape 2.2.14.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + 1 (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.14.2

Multipliez $x - 9$ par $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.16

Associez les fractions.

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Étape 2.2.16.1

Multipliez $x - 9$ par $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.16.2

Multipliez $\frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ par $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}) \cdot 4}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Étape 2.2.16.3

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.16.3.1

Déplacez $4$ à gauche de ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 \cdot ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Étape 2.2.16.3.2

Déplacez $3$ à gauche de ${(12 - x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 \cdot {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17

Simplifiez

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Étape 2.2.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{4 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.17.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

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Étape 2.2.17.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 ((x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 ((x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2.2

Multipliez $x - 9$ par $\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{(x - 9) \cdot 2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $x - 9$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 \cdot (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2.4

Pour écrire ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2.5

Associez ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ et $\frac{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 (\frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{4 \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2.7

Réécrivez $\frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ en forme factorisée.

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Étape 2.2.17.2.7.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{4 \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}} {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2.7.2

Multipliez ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ par ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.17.2.7.2.1

Déplacez ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4 \frac{3 ({(12 - x)}^{\frac{1}{3}} {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{4 \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2.7.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{4 \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{1 + 2}{3}} + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2.7.2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{4 \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{3}{3}} + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2.7.2.5

Divisez $3$ par $3$ .

$- \frac{4 \frac{3 {(12 - x)}^{1} + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2.7.3

Simplifiez $3 {(12 - x)}^{1}$ .

$- \frac{4 \frac{3 (12 - x) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{4 \frac{3 \cdot 12 + 3 (- x) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2.7.5

Multipliez $3$ par $12$ .

$- \frac{4 \frac{36 + 3 (- x) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2.7.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{4 \frac{36 - 3 x + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2.7.7

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{4 \frac{36 - 3 x + 2 x + 2 \cdot - 9}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2.7.8

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$- \frac{4 \frac{36 - 3 x + 2 x - 18}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2.7.9

Soustrayez $18$ de $36$ .

$- \frac{4 \frac{- 3 x + 2 x + 18}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.2.7.10

Additionnez $- 3 x$ et $2 x$ .

$- \frac{4 \frac{- x + 18}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.3

Associez des termes.

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Étape 2.2.17.3.1

Associez $4$ et $\frac{- x + 18}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{\frac{4 (- x + 18)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.3.2

Réécrivez $\frac{\frac{4 (- x + 18)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ comme un produit.

$- (\frac{4 (- x + 18)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}})$

Étape 2.2.17.3.3

Multipliez $\frac{4 (- x + 18)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ par $\frac{1}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{4 (- x + 18)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.17.3.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{4 (- x + 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.17.3.5

Multipliez ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(12 - x)}^{\frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.17.3.5.1

Déplacez ${(12 - x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{4 (- x + 18)}{9 ({(12 - x)}^{\frac{4}{3}} {(12 - x)}^{\frac{1}{3}})}$

Étape 2.2.17.3.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{4 (- x + 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Étape 2.2.17.3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{4 (- x + 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Étape 2.2.17.3.5.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$- \frac{4 (- x + 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.17.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- \frac{4 (- (x) + 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.17.5

Réécrivez $18$ comme $- 1 (- 18)$ .

$- \frac{4 (- (x) - 1 (- 18))}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.17.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 18)$ .

$- \frac{4 (- (x - 18))}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.17.7

Réécrivez $- (x - 18)$ comme $- 1 (x - 18)$ .

$- \frac{4 (- 1 (x - 18))}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.17.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.17.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.17.10

Multipliez $\frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 (x - 18) = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $4 (x - 18) = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $4 (x - 18) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 (x - 18)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (x - 18)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 3.3.1.2.1.2

Divisez $x - 18$ par $1$ .

$x - 18 = \frac{0}{4}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x - 18 = 0$

Étape 3.3.2

Ajoutez $18$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 18$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $18$ dans $f (x) = x {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $18$ dans l’expression.

$f (18) = (18) {(12 - (18))}^{\frac{1}{3}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$f (18) = 18 {(12 - 18)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $18$ de $12$ .

$f (18) = 18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $18$ dans $f (x) = x {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ est $(18, 18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(18, 18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 18) \cup (18, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 18)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $17.9$ dans l’expression.

$f'' (17.9) = \frac{4 ((17.9) - 18)}{9 {(12 - (17.9))}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $18$ de $17.9$ .

$f'' (17.9) = \frac{4 \cdot - 0.1}{9 {(12 - (17.9))}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $17.9$ .

$f'' (17.9) = \frac{4 \cdot - 0.1}{9 {(12 - 17.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $17.9$ de $12$ .

$f'' (17.9) = \frac{4 \cdot - 0.1}{9 {(- 5.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $4$ par $- 0.1$ .

$f'' (17.9) = \frac{- 0.4}{9 {(- 5.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (17.9) = - \frac{0.4}{9 {(- 5.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- \frac{0.4}{9 {(- 5.9)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{0.4}{9 {(- 5.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.3

Sur $17.9$ , la dérivée seconde est $0.00230708$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, 18)$ .

Augmente sur $(- \infty, 18)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(18, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $18.1$ dans l’expression.

$f'' (18.1) = \frac{4 ((18.1) - 18)}{9 {(12 - (18.1))}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $18$ de $18.1$ .

$f'' (18.1) = \frac{4 \cdot 0.1}{9 {(12 - (18.1))}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $18.1$ .

$f'' (18.1) = \frac{4 \cdot 0.1}{9 {(12 - 18.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $18.1$ de $12$ .

$f'' (18.1) = \frac{4 \cdot 0.1}{9 {(- 6.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 7.2.3

Multipliez $4$ par $0.1$ .

$f'' (18.1) = \frac{0.4}{9 {(- 6.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $\frac{0.4}{9 {(- 6.1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{0.4}{9 {(- 6.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 7.3

Sur $18.1$ , la dérivée seconde est $- 0.0021824$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(18, \infty)$

Diminue sur $(18, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(18, 18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}})$ .

$(18, 18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 9