Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 x e^{2 x}$

Étape 1

Écrivez $y = 4 x e^{2 x}$ comme une fonction.

$f (x) = 4 x e^{2 x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x e^{2 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x e^{2 x}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{2 x}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$4 (x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.4

Différenciez.

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Étape 2.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.4.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 (x (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.4.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$4 (x (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x} \cdot 1)$

Étape 2.1.4.5

Multipliez $e^{2 x}$ par $1$ .

$4 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x})$

Étape 2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (x (2 e^{2 x})) + 4 e^{2 x}$

Étape 2.1.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Étape 2.1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 e^{2 x} x + 4 e^{2 x}$

Étape 2.1.5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $8 e^{2 x} x + 4 e^{2 x}$ .

$f' (x) = 8 x e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x e^{2 x} + 4 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x e^{2 x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{2 x}$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Étape 2.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$8 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Étape 2.2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$8 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Étape 2.2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$8 (x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Étape 2.2.2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Étape 2.2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Étape 2.2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Étape 2.2.2.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$8 (x (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Étape 2.2.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$8 (x (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Étape 2.2.2.9

Multipliez $e^{2 x}$ par $1$ .

$8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Étape 2.2.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 (e^{2 x} \cdot 2)$

Étape 2.2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 (2 \cdot e^{2 x})$

Étape 2.2.3.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 8 e^{2 x}$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 (x (2 e^{2 x})) + 8 e^{2 x} + 8 e^{2 x}$

Étape 2.2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.2.4.2.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 (x (e^{2 x})) + 8 e^{2 x} + 8 e^{2 x}$

Étape 2.2.4.2.2

Additionnez $8 e^{2 x}$ et $8 e^{2 x}$ .

$16 x e^{2 x} + 16 e^{2 x}$

Étape 2.2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$16 e^{2 x} x + 16 e^{2 x}$

Étape 2.2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $16 e^{2 x} x + 16 e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 16 x e^{2 x} + 16 e^{2 x}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $16 x e^{2 x} + 16 e^{2 x}$ .

$16 x e^{2 x} + 16 e^{2 x}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $16 x e^{2 x} + 16 e^{2 x} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$16 x e^{2 x} + 16 e^{2 x} = 0$

Étape 3.2

Factorisez $16 e^{2 x}$ à partir de $16 x e^{2 x} + 16 e^{2 x}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $16 e^{2 x}$ à partir de $16 x e^{2 x}$ .

$16 e^{2 x} (x) + 16 e^{2 x} = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $16 e^{2 x}$ à partir de $16 e^{2 x}$ .

$16 e^{2 x} (x) + 16 e^{2 x} (1) = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez $16 e^{2 x}$ à partir de $16 e^{2 x} (x) + 16 e^{2 x} (1)$ .

$16 e^{2 x} (x + 1) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{2 x} = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 3.4

Définissez $e^{2 x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $e^{2 x}$ égal à $0$ .

$e^{2 x} = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $e^{2 x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

Étape 3.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{2 x} = 0$

Aucune solution

Étape 3.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $16 e^{2 x} (x + 1) = 0$ vraie.

$x = - 1$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $- 1$ dans $f (x) = 4 x e^{2 x}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = 4 (- 1) \cdot e^{2 (- 1)}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 \cdot e^{2 (- 1)}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 \cdot e^{- 2}$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1) = - 4 \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Étape 4.1.2.4

Associez $- 4$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 1) = \frac{- 4}{e^{2}}$

Étape 4.1.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 1) = - \frac{4}{e^{2}}$

Étape 4.1.2.6

La réponse finale est $- \frac{4}{e^{2}}$ .

$- \frac{4}{e^{2}}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $- 1$ dans $f (x) = 4 x e^{2 x}$ est $(- 1, - \frac{4}{e^{2}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 1, - \frac{4}{e^{2}})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.1$ dans l’expression.

$f'' (- 1.1) = 16 (- 1.1) \cdot e^{2 (- 1.1)} + 16 e^{2 (- 1.1)}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $16$ par $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = - 17.6 \cdot e^{2 (- 1.1)} + 16 e^{2 (- 1.1)}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = - 17.6 \cdot e^{- 2.2} + 16 e^{2 (- 1.1)}$

Étape 6.2.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.1) = - 17.6 \cdot \frac{1}{e^{2.2}} + 16 e^{2 (- 1.1)}$

Étape 6.2.1.4

Associez $- 17.6$ et $\frac{1}{e^{2.2}}$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 17.6}{e^{2.2}} + 16 e^{2 (- 1.1)}$

Étape 6.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 1.1) = - \frac{17.6}{e^{2.2}} + 16 e^{2 (- 1.1)}$

Étape 6.2.1.6

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 1.1) = - \frac{17.6}{{2.71828182}^{2.2}} + 16 e^{2 (- 1.1)}$

Étape 6.2.1.7

Élevez $2.71828182$ à la puissance $2.2$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{17.6}{9.02501349} + 16 e^{2 (- 1.1)}$

Étape 6.2.1.8

Divisez $17.6$ par $9.02501349$ .

$f'' (- 1.1) = - 1 \cdot 1.95013558 + 16 e^{2 (- 1.1)}$

Étape 6.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $1.95013558$ .

$f'' (- 1.1) = - 1.95013558 + 16 e^{2 (- 1.1)}$

Étape 6.2.1.10

Multipliez $2$ par $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = - 1.95013558 + 16 e^{- 2.2}$

Étape 6.2.1.11

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.1) = - 1.95013558 + 16 (\frac{1}{e^{2.2}})$

Étape 6.2.1.12

Associez $16$ et $\frac{1}{e^{2.2}}$ .

$f'' (- 1.1) = - 1.95013558 + \frac{16}{e^{2.2}}$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 1.95013558$ et $\frac{16}{e^{2.2}}$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.17728505$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 0.17728505$ .

$- 0.17728505$

Étape 6.3

Sur $- 1.1$ , la dérivée seconde est $- 0.17728505$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - 1)$

Diminue sur $(- \infty, - 1)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.9$ dans l’expression.

$f'' (- 0.9) = 16 (- 0.9) \cdot e^{2 (- 0.9)} + 16 e^{2 (- 0.9)}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $16$ par $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.4 \cdot e^{2 (- 0.9)} + 16 e^{2 (- 0.9)}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.4 \cdot e^{- 1.8} + 16 e^{2 (- 0.9)}$

Étape 7.2.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.4 \cdot \frac{1}{e^{1.8}} + 16 e^{2 (- 0.9)}$

Étape 7.2.1.4

Associez $- 14.4$ et $\frac{1}{e^{1.8}}$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{- 14.4}{e^{1.8}} + 16 e^{2 (- 0.9)}$

Étape 7.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 0.9) = - \frac{14.4}{e^{1.8}} + 16 e^{2 (- 0.9)}$

Étape 7.2.1.6

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 0.9) = - \frac{14.4}{{2.71828182}^{1.8}} + 16 e^{2 (- 0.9)}$

Étape 7.2.1.7

Élevez $2.71828182$ à la puissance $1.8$ .

$f'' (- 0.9) = - \frac{14.4}{6.04964746} + 16 e^{2 (- 0.9)}$

Étape 7.2.1.8

Divisez $14.4$ par $6.04964746$ .

$f'' (- 0.9) = - 1 \cdot 2.38030399 + 16 e^{2 (- 0.9)}$

Étape 7.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $2.38030399$ .

$f'' (- 0.9) = - 2.38030399 + 16 e^{2 (- 0.9)}$

Étape 7.2.1.10

Multipliez $2$ par $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = - 2.38030399 + 16 e^{- 1.8}$

Étape 7.2.1.11

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.9) = - 2.38030399 + 16 (\frac{1}{e^{1.8}})$

Étape 7.2.1.12

Associez $16$ et $\frac{1}{e^{1.8}}$ .

$f'' (- 0.9) = - 2.38030399 + \frac{16}{e^{1.8}}$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 2.38030399$ et $\frac{16}{e^{1.8}}$ .

$f'' (- 0.9) = 0.26447822$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $0.26447822$ .

$0.26447822$

Étape 7.3

Sur $- 0.9$ , la dérivée seconde est $0.26447822$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- 1, \infty)$ .

Augmente sur $(- 1, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(- 1, - \frac{4}{e^{2}})$ .

$(- 1, - \frac{4}{e^{2}})$

Étape 9