Calcul infinitésimal Exemples

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 4 x^{2} y$ , $(- 1, 1)$

Étape 1

Écrivez $x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y = 0$ comme une fonction.

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y$

Étape 2

Soustrayez $4 x^{2} y$ des deux côtés de l’équation.

${(x^{2} + y^{2})}^{2} - 4 x^{2} y = 0$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Réécrivez ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ comme $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ .

$(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2}) - 4 x^{2} y = 0$

Étape 3.2

Développez $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (x^{2} + y^{2}) + y^{2} (x^{2} + y^{2}) - 4 x^{2} y = 0$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} (x^{2} + y^{2}) - 4 x^{2} y = 0$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} - 4 x^{2} y = 0$

Étape 3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} - 4 x^{2} y = 0$

Étape 3.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} - 4 x^{2} y = 0$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2 + 2} - 4 x^{2} y = 0$

Étape 3.3.1.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y = 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $x^{2} y^{2}$ et $y^{2} x^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $x^{2}$ .

$x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y = 0$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $x^{2} y^{2}$ et $x^{2} y^{2}$ .

$x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y = 0$

Étape 4

Vérifiez si le point donné est sur le graphe de la fonction donnée.

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Étape 4.1

Évaluez $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y$ sur $x = - 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{2} y^{2} + y^{4} - 4 {(- 1)}^{2} y$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- 1) = 1 + 2 {(- 1)}^{2} y^{2} + y^{4} - 4 {(- 1)}^{2} y$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = 1 + 2 \cdot (1 y^{2}) + y^{4} - 4 {(- 1)}^{2} y$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 {(- 1)}^{2} y$

Étape 4.1.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = 1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 \cdot (1 y)$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 y$

Étape 4.1.2.2

La réponse finale est $1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 y$ .

$1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 y$

Étape 4.2

Comme $1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 y$ $\neq$ $1$ , le point n’est pas sur le graphe.

Le point n’est pas sur le graphe

Étape 5