Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = | x^{2} - 100 |$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = x^{2} - 100$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 100$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 100$ .

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 100$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100]$ .

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 100])$

Étape 1.2.3

Comme $- 100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 100$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (2 x + 0)$

Étape 1.2.4

Associez les fractions.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (2 x)$

Étape 1.2.4.2

Associez $2$ et $\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 100)}{| x^{2} - 100 |} x$

Étape 1.2.4.3

Associez $\frac{2 (x^{2} - 100)}{| x^{2} - 100 |}$ et $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 100) x}{| x^{2} - 100 |}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 100) x}{| x^{2} - 100 |}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

Étape 1.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.3.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.3.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

Étape 1.3.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

Étape 1.3.3.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

Étape 1.3.3.2

Multipliez $2$ par $- 100$ .

$\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x^{3} - 200 x$ et $g (x) = | x^{2} - 100 |$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | \frac{d}{d x} (2 x^{3} - 200 x) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 200 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 200 x]$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (\frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 200 x)) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 200 x)) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 200 x)) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 200 x)) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.2.5

Comme $- 200$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 200 x$ par rapport à $x$ est $- 200 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200 \frac{d}{d x} x) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200 \cdot 1) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.2.7

Multipliez $- 200$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = x^{2} - 100$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 100$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x^{2} - 100))}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.3.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 100))}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 100$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 100))}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 100$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100]$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 100)))}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 100)))}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.4.3

Comme $- 100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 100$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} \cdot (2 x + 0))}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.4.4

Associez les fractions.

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Étape 2.4.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} \cdot (2 x))}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.4.4.2

Associez $2$ et $\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{2 (x^{2} - 100)}{| x^{2} - 100 |} \cdot x)}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.4.4.3

Associez $\frac{2 (x^{2} - 100)}{| x^{2} - 100 |}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{2 (x^{2} - 100) x}{| x^{2} - 100 |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 (x^{2} - 100) x}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 100) x}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2}) + | x^{2} - 100 | \cdot - 200 + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} + | x^{2} - 100 | \cdot - 200 + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.3

Déplacez $- 200$ à gauche de $| x^{2} - 100 |$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 \cdot | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.4.1.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.4.1.4.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.4.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.5.4.1.4.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.4.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.4.2

Multipliez $2$ par $- 100$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.4.3

Réécrivez $2 x^{3} - 200 x$ en forme factorisée.

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Étape 2.5.4.1.4.3.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} - 200 x$ .

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Étape 2.5.4.1.4.3.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x^{2}) - 200 x}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.4.3.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 200 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (- 100)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.4.3.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (- 100)$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x^{2} - 100)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.4.3.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x^{2} - 10^{2})}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.4.3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 10$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.4.1.5.1

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x^{2} - 10^{2} |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 10$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.5.3

Développez $(x + 10) (x - 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.4.1.5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x (x - 10) + 10 (x - 10) |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 (x - 10) |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 x + 10 \cdot - 10 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.5.4

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 x + 10 \cdot - 10$ .

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Étape 2.5.4.1.5.4.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 10$ et $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x \cdot x - 10 x + 10 x + 10 \cdot - 10 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.5.4.2

Additionnez $- 10 x$ et $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x \cdot x + 0 + 10 \cdot - 10 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.5.4.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x \cdot x + 10 \cdot - 10 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.1.5.5.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x^{2} + 10 \cdot - 10 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.5.5.2

Multipliez $10$ par $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.5.6

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x^{2} - 10^{2} |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.5.7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 10$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.1.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- 2 x^{3} - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.6.2

Multipliez $- 200$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- 2 x^{3} + 200 x) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.7

Multipliez $- 2 x^{3} + 200 x$ par $\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{(- 2 x^{3} + 200 x) (2 x (x + 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.4.1.8.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{3} + 200 x$ .

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Étape 2.5.4.1.8.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{(2 x (- x^{2}) + 200 x) \cdot (2 x (x + 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $200 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{(2 x (- x^{2}) + 2 x (100)) \cdot (2 x (x + 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- x^{2}) + 2 x (100)$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{2 x (- x^{2} + 100) \cdot (2 x (x + 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{2 x (- x^{2} + 10^{2}) \cdot (2 x (x + 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.3

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $10^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{2 x (10^{2} - x^{2}) \cdot (2 x (x + 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 10$ et $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{2 x (10 + x) (10 - x) \cdot (2 x (x + 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.5

Associez les exposants.

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Étape 2.5.4.1.8.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x (10 + x) (10 - x) x (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 (x \cdot x) (10 + x) (10 - x) (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 (x \cdot x) (10 + x) (10 - x) (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{1 + 1} (10 + x) (10 - x) (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} (10 + x) (10 - x) (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.5.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} (x + 10) (10 - x) (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.5.7

Élevez $x + 10$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} ((x + 10) (x + 10)) (10 - x) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.5.8

Élevez $x + 10$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} ((x + 10) (x + 10)) (10 - x) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.5.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{1 + 1} (10 - x) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.5.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} (10 - x) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.5.11

Réécrivez $10$ comme $- 1 (- 10)$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} (- 1 \cdot - 10 - x) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.5.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} (- 1 \cdot - 10 - (x)) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.5.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 10) - (x)$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} (- 1 (- 10 + x)) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.5.14

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} \cdot (- 1 (x - 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.5.15

Élevez $x - 10$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} \cdot (- 1 ((x - 10) (x - 10)))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.5.16

Élevez $x - 10$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} \cdot (- 1 ((x - 10) (x - 10)))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.5.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} \cdot (- 1 {(x - 10)}^{1 + 1})}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.5.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} \cdot (- 1 {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.8.5.19

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{- 4 x^{2} {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | - \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.2

Pour écrire $6 | x^{2} - 100 | x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{| (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} | (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |} - \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} | (x + 10) (x - 10) | - 4 x^{2} {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.4.4.1.1

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $6 | x^{2} - 100 | x^{2} | (x + 10) (x - 10) | - 4 x^{2} {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}$ .

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Étape 2.5.4.4.1.1.1

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $6 | x^{2} - 100 | x^{2} | (x + 10) (x - 10) |$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |) - 4 x^{2} {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.1.2

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $- 4 x^{2} {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |) + 2 x^{2} (- 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.1.3

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{2} (3 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |) + 2 x^{2} (- 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.2

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x + 10) (x - 10) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.4.1.3.1

Développez $(x + 10) (x - 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.4.4.1.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x (x - 10) + 10 (x - 10)) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 (x - 10)) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 x + 10 \cdot - 10) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.2

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 x + 10 \cdot - 10$ .

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Étape 2.5.4.4.1.3.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 10$ et $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x \cdot x - 10 x + 10 x + 10 \cdot - 10) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.2.2

Additionnez $- 10 x$ et $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x \cdot x + 0 + 10 \cdot - 10) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.2.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x \cdot x + 10 \cdot - 10) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.4.1.3.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x^{2} + 10 \cdot - 10) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.3.2

Multipliez $10$ par $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x^{2} - 100) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.4

Développez $(x^{2} - 100) (x^{2} - 100)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.4.4.1.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} (x^{2} - 100) - 100 (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 100 - 100 (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 100 - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.4.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.4.1.3.5.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.4.1.3.5.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 100 - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.5.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} + x^{2} \cdot - 100 - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.5.1.2

Déplacez $- 100$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 100 \cdot x^{2} - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.5.1.3

Multipliez $- 100$ par $- 100$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 100 x^{2} - 100 x^{2} + 10000 | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.5.2

Soustrayez $100 x^{2}$ de $- 100 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.6

Réécrivez ${(x + 10)}^{2}$ comme $(x + 10) (x + 10)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 ((x + 10) (x + 10)) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.7

Développez $(x + 10) (x + 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.4.1.3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x (x + 10) + 10 (x + 10)) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x \cdot x + x \cdot 10 + 10 (x + 10)) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x \cdot x + x \cdot 10 + 10 x + 10 \cdot 10) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.4.1.3.8.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.4.1.3.8.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x^{2} + x \cdot 10 + 10 x + 10 \cdot 10) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.8.1.2

Déplacez $10$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x^{2} + 10 \cdot x + 10 x + 10 \cdot 10) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.8.1.3

Multipliez $10$ par $10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x^{2} + 10 x + 10 x + 100) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.8.2

Additionnez $10 x$ et $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x^{2} + 20 x + 100) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.9

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 2 (20 x) - 2 \cdot 100) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.10

Simplifiez

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Étape 2.5.4.4.1.3.10.1

Multipliez $20$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 2 \cdot 100) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.10.2

Multipliez $- 2$ par $100$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.11

Réécrivez ${(x - 10)}^{2}$ comme $(x - 10) (x - 10)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) ((x - 10) (x - 10)))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.12

Développez $(x - 10) (x - 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.4.1.3.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x (x - 10) - 10 (x - 10)))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10)))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.4.1.3.13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.4.1.3.13.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.13.1.2

Déplacez $- 10$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.13.1.3

Multipliez $- 10$ par $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x^{2} - 10 x - 10 x + 100))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.13.2

Soustrayez $10 x$ de $- 10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x^{2} - 20 x + 100))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.14

Développez $(- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x^{2} - 20 x + 100)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} (- 20 x) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.15

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.4.1.3.15.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.4.1.3.15.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x^{2} x^{2}) - 2 x^{2} (- 20 x) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.15.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{2 + 2} - 2 x^{2} (- 20 x) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.15.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 2 x^{2} (- 20 x) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.15.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 2 \cdot (- 20 x^{2} x) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.15.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.4.1.3.15.3.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 2 \cdot (- 20 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.15.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.4.1.3.15.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.5.4.4.1.3.15.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 2 \cdot (- 20 x^{1 + 2}) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.15.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 2 \cdot (- 20 x^{3}) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.15.4

Multipliez $- 2$ par $- 20$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.15.5

Multipliez $100$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.15.6

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.4.1.3.15.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 (x^{2} x) - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.15.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.4.1.3.15.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.5.4.4.1.3.15.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{2 + 1} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.15.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.15.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} - 40 \cdot (- 20 x \cdot x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.15.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.4.4.1.3.15.8.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} - 40 \cdot (- 20 (x \cdot x)) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.15.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} - 40 \cdot (- 20 x^{2}) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.15.9

Multipliez $- 40$ par $- 20$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} + 800 x^{2} - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.15.10

Multipliez $100$ par $- 40$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} + 800 x^{2} - 4000 x - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.15.11

Multipliez $- 20$ par $- 200$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} + 800 x^{2} - 4000 x - 200 x^{2} + 4000 x - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.15.12

Multipliez $- 200$ par $100$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} + 800 x^{2} - 4000 x - 200 x^{2} + 4000 x - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.16

Associez les termes opposés dans $- 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} + 800 x^{2} - 4000 x - 200 x^{2} + 4000 x - 20000$ .

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Étape 2.5.4.4.1.3.16.1

Soustrayez $40 x^{3}$ de $40 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 200 x^{2} + 0 + 800 x^{2} - 4000 x - 200 x^{2} + 4000 x - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.16.2

Additionnez $- 2 x^{4} - 200 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 200 x^{2} + 800 x^{2} - 4000 x - 200 x^{2} + 4000 x - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.16.3

Additionnez $- 4000 x$ et $4000 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 200 x^{2} + 800 x^{2} - 200 x^{2} + 0 - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.16.4

Additionnez $- 2 x^{4} - 200 x^{2} + 800 x^{2} - 200 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 200 x^{2} + 800 x^{2} - 200 x^{2} - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.17

Additionnez $- 200 x^{2}$ et $800 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 600 x^{2} - 200 x^{2} - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.3.18

Soustrayez $200 x^{2}$ de $600 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 400 x^{2} - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 2 x^{4} + 400 x^{2} + 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.5

Réécrivez $- 2 x^{4} + 400 x^{2} + 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 20000$ en forme factorisée.

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Étape 2.5.4.4.1.5.1

Regroupez les termes.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 20000 - 2 x^{4} + 400 x^{2} + 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{4} + 400 x^{2} + 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |$ .

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Étape 2.5.4.4.1.5.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 20000 - (2 x^{4}) + 400 x^{2} + 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.5.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $400 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 20000 - (2 x^{4}) - (- 400 x^{2}) + 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.5.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 20000 - (2 x^{4}) - (- 400 x^{2}) - (- 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.5.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{4}) - (- 400 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 20000 - (2 x^{4} - 400 x^{2}) - (- 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.5.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{4} - 400 x^{2}) - (- 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 20000 - (2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 20000 - (2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ .

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Étape 2.5.4.4.1.5.3.1

Réécrivez $- 20000$ comme $- 1 (20000)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 1 \cdot 20000 - (2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.5.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (20000) - (2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 1 (20000 + 2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.5.3.3

Réécrivez $- 1 (20000 + 2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ comme $- (20000 + 2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- (20000 + 2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} \cdot (- 1 (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.6

Associez les exposants.

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Étape 2.5.4.4.1.6.1

Factorisez le signe négatif.

$f'' (x) = \frac{\frac{- (2 x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.1.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 2 (x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.5

Pour écrire $- 200 | x^{2} - 100 |$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{| (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 | \cdot \frac{| (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.6

Associez $- 200 | x^{2} - 100 |$ et $\frac{| (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |} + \frac{- 200 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 2 x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 200 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.4.8.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 200 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |$ .

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Étape 2.5.4.8.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)) - 200 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 200 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)) + 2 (- 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)) + 2 (- 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- x^{2} (2 x^{4}) - x^{2} (- 400 x^{2}) - x^{2} \cdot 20000 - x^{2} (- 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.3

Simplifiez

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Étape 2.5.4.8.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{2} x^{4}) - x^{2} (- 400 x^{2}) - x^{2} \cdot 20000 - x^{2} (- 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{2} x^{4}) - 1 \cdot (- 400 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 20000 - x^{2} (- 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.3.3

Multipliez $20000$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{2} x^{4}) - 1 \cdot (- 400 x^{2} x^{2}) - 20000 x^{2} - x^{2} (- 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.3.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{2} x^{4}) - 1 \cdot (- 400 x^{2} x^{2}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.8.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.4.8.4.1.1

Déplacez $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 (x^{4} x^{2})) - 1 \cdot (- 400 x^{2} x^{2}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{4 + 2}) - 1 \cdot (- 400 x^{2} x^{2}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.4.1.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{6}) - 1 \cdot (- 400 x^{2} x^{2}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.4.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} - 1 \cdot (- 400 x^{2} x^{2}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.4.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.4.8.4.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} - 1 \cdot (- 400 (x^{2} x^{2})) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.4.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} - 1 \cdot (- 400 x^{2 + 2}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.4.3.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} - 1 \cdot (- 400 x^{4}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.4.4

Multipliez $- 1$ par $- 400$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.5

Développez $(x + 10) (x - 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.4.8.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x (x - 10) + 10 (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 x + 10 \cdot - 10 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.6

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 x + 10 \cdot - 10$ .

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Étape 2.5.4.8.6.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 10$ et $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x \cdot x - 10 x + 10 x + 10 \cdot - 10 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.6.2

Additionnez $- 10 x$ et $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x \cdot x + 0 + 10 \cdot - 10 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.6.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x \cdot x + 10 \cdot - 10 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.8.7.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x^{2} + 10 \cdot - 10 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.7.2

Multipliez $10$ par $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x^{2} - 100 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.8

Multipliez $- 100 | x^{2} - 100 | | x^{2} - 100 |$ .

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Étape 2.5.4.8.8.1

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | (x^{2} - 100) (x^{2} - 100) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.8.2

Élevez $x^{2} - 100$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | (x^{2} - 100) (x^{2} - 100) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.8.3

Élevez $x^{2} - 100$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | (x^{2} - 100) (x^{2} - 100) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | {(x^{2} - 100)}^{1 + 1} |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | {(x^{2} - 100)}^{2} |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.9

Réécrivez ${(x^{2} - 100)}^{2}$ comme $(x^{2} - 100) (x^{2} - 100)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | (x^{2} - 100) (x^{2} - 100) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.10

Développez $(x^{2} - 100) (x^{2} - 100)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.4.8.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} (x^{2} - 100) - 100 (x^{2} - 100) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 100 - 100 (x^{2} - 100) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 100 - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.4.8.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.8.11.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.4.8.11.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 100 - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.11.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} + x^{2} \cdot - 100 - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.11.1.2

Déplacez $- 100$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 100 \cdot x^{2} - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.11.1.3

Multipliez $- 100$ par $- 100$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 100 x^{2} - 100 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.8.11.2

Soustrayez $100 x^{2}$ de $- 100 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6}) + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $400 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6}) - (- 400 x^{4}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{6}) - (- 400 x^{4})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 400 x^{4}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- 20000 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 400 x^{4}) - (20000 x^{2}) + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{6} - 400 x^{4}) - (20000 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2}) + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.14

Factorisez $- 1$ à partir de $3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2}) - (- 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.15

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2}) - (- 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.16

Factorisez $- 1$ à partir de $- 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - (100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.17

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - (100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.18

Réécrivez $- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ comme $- 1 (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.4.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.5

Associez des termes.

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Étape 2.5.5.1

Réécrivez $\frac{- \frac{2 (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$ comme un produit.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |} \cdot \frac{1}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Étape 2.5.5.2

Multipliez $\frac{1}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$ par $\frac{2 (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{{| x^{2} - 100 |}^{2} | (x + 10) (x - 10) |}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = x^{2} - 100$ .

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Étape 4.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 100$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]$

Étape 4.1.1.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]$

Étape 4.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 100$ .

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 100$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100]$ .

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100])$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 100])$

Étape 4.1.2.3

Comme $- 100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 100$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (2 x + 0)$

Étape 4.1.2.4

Associez les fractions.

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Étape 4.1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (2 x)$

Étape 4.1.2.4.2

Associez $2$ et $\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 100)}{| x^{2} - 100 |} x$

Étape 4.1.2.4.3

Associez $\frac{2 (x^{2} - 100)}{| x^{2} - 100 |}$ et $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 100) x}{| x^{2} - 100 |}$

Étape 4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 100) x}{| x^{2} - 100 |}$

Étape 4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

Étape 4.1.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.3.3.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

Étape 4.1.3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.1.3.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

Étape 4.1.3.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

Étape 4.1.3.3.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

Étape 4.1.3.3.2

Multipliez $2$ par $- 100$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$ .

$\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x^{3} - 200 x = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} - 200 x$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 200 x = 0$

Étape 5.3.1.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 200 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 100) = 0$

Étape 5.3.1.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (- 100)$ .

$2 x (x^{2} - 100) = 0$

Étape 5.3.1.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 10^{2}) = 0$

Étape 5.3.1.3

Factorisez.

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Étape 5.3.1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 10$ .

$2 x ((x + 10) (x - 10)) = 0$

Étape 5.3.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x (x + 10) (x - 10) = 0$

Étape 5.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 10 = 0$

$x - 10 = 0$

Étape 5.3.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.3.4

Définissez $x + 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.4.1

Définissez $x + 10$ égal à $0$ .

$x + 10 = 0$

Étape 5.3.4.2

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 10$

Étape 5.3.5

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.5.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 5.3.5.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 5.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (x + 10) (x - 10) = 0$ vraie.

$x = 0, - 10, 10$

Étape 5.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |} = 0$ vrai.

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$| x^{2} - 100 | = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - 100 = \pm 0$

Étape 6.2.2

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x^{2} - 100 = 0$

Étape 6.2.3

Ajoutez $100$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 100$

Étape 6.2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{100}$

Étape 6.2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{100}$ .

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Étape 6.2.5.1

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{10^{2}}$

Étape 6.2.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 10$

Étape 6.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 10$

Étape 6.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 10$

Étape 6.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 10, - 10$

Étape 6.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 10, x = 10$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 10, 10$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2 (2 {(0)}^{6} - 400 {(0)}^{4} + 20000 {(0)}^{2} - 3 {(0)}^{2} | {(0)}^{4} - 200 {(0)}^{2} + 10000 | + 100 | {(0)}^{4} - 200 {(0)}^{2} + 10000 |)}{{| {(0)}^{2} - 100 |}^{2} | ((0) + 10) ((0) - 10) |}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (2 \cdot 0 - 400 \cdot 0^{4} + 20000 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$- \frac{2 (0 - 400 \cdot 0^{4} + 20000 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (0 - 400 \cdot 0 + 20000 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 400$ par $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 20000 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 20000 \cdot 0 - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.6

Multipliez $20000$ par $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 3 \cdot 0 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.8

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.9.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 0 - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.9.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 0 - 200 \cdot 0 + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.9.3

Multipliez $- 200$ par $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 0 + 0 + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.10

Additionnez $0$ et $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 0 + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.11

Additionnez $0$ et $10000$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.12

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $10000$ est $10000$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 \cdot 10000 + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.13

Multipliez $0$ par $10000$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.14.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 100 | 0 - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.14.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 100 | 0 - 200 \cdot 0 + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.14.3

Multipliez $- 200$ par $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 100 | 0 + 0 + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.15

Additionnez $0$ et $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 100 | 0 + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.16

Additionnez $0$ et $10000$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 100 | 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.17

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $10000$ est $10000$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 100 \cdot 10000)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.18

Multipliez $100$ par $10000$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 1000000)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.19

Additionnez $0$ et $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 1000000)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.20

Additionnez $0$ et $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 1000000)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.21

Additionnez $0$ et $0$ .

$- \frac{2 (0 + 1000000)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.1.22

Additionnez $0$ et $1000000$ .

$- \frac{2 \cdot 1000000}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 \cdot 1000000}{{| 0 - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.2.2

Soustrayez $100$ de $0$ .

$- \frac{2 \cdot 1000000}{{| - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Étape 9.2.3

Additionnez $0$ et $10$ .

$- \frac{2 \cdot 1000000}{{| - 100 |}^{2} | 10 (0 - 10) |}$

Étape 9.2.4

Soustrayez $10$ de $0$ .

$- \frac{2 \cdot 1000000}{{| - 100 |}^{2} | 10 \cdot - 10 |}$

Étape 9.2.5

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 100$ et $0$ est $100$ .

$- \frac{2 \cdot 1000000}{100^{2} | 10 \cdot - 10 |}$

Étape 9.2.6

Élevez $100$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 \cdot 1000000}{10000 | 10 \cdot - 10 |}$

Étape 9.2.7

Multipliez $10$ par $- 10$ .

$- \frac{2 \cdot 1000000}{10000 | - 100 |}$

Étape 9.2.8

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 100$ et $0$ est $100$ .

$- \frac{2 \cdot 1000000}{10000 \cdot 100}$

Étape 9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.1

Multipliez $2$ par $1000000$ .

$- \frac{2000000}{10000 \cdot 100}$

Étape 9.3.2

Multipliez $10000$ par $100$ .

$- \frac{2000000}{1000000}$

Étape 9.3.3

Divisez $2000000$ par $1000000$ .

$- 1 \cdot 2$

Étape 9.3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2$

Étape 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = | {(0)}^{2} - 100 |$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = | 0 - 100 |$

Étape 11.2.2

Soustrayez $100$ de $0$ .

$f (0) = | - 100 |$

Étape 11.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 100$ et $0$ est $100$ .

$f (0) = 100$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $100$ .

$y = 100$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 10$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{{| {(- 10)}^{2} - 100 |}^{2} | ((- 10) + 10) ((- 10) - 10) |}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{{| 100 - 100 |}^{2} | ((- 10) + 10) ((- 10) - 10) |}$

Étape 13.2

Soustrayez $100$ de $100$ .

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{{| 0 |}^{2} | ((- 10) + 10) ((- 10) - 10) |}$

Étape 13.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{0^{2} | ((- 10) + 10) ((- 10) - 10) |}$

Étape 13.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{0 | ((- 10) + 10) ((- 10) - 10) |}$

Étape 13.5

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{0 | 0 ((- 10) - 10) |}$

Étape 13.6

Soustrayez $10$ de $- 10$ .

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{0 | 0 \cdot - 20 |}$

Étape 13.7

Multipliez $0$ par $- 20$ .

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{0 | 0 |}$

Étape 13.8

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{0 \cdot 0}$

Étape 13.9

Multipliez $0$ par $0$ .

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{0}$

Étape 13.10

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 14

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 14.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 0) \cup (0, 10) \cup (10, \infty)$

Étape 14.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 12$ , de l’intervalle $(- \infty, - 10)$ dans la dérivée première $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 12$ dans l’expression.

$f' (- 12) = \frac{2 {(- 12)}^{3} - 200 \cdot - 12}{| {(- 12)}^{2} - 100 |}$

Étape 14.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.2.2.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $3$ .

$f' (- 12) = \frac{2 \cdot - 1728 - 200 \cdot - 12}{| {(- 12)}^{2} - 100 |}$

Étape 14.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 1728$ .

$f' (- 12) = \frac{- 3456 - 200 \cdot - 12}{| {(- 12)}^{2} - 100 |}$

Étape 14.2.2.1.3

Multipliez $- 200$ par $- 12$ .

$f' (- 12) = \frac{- 3456 + 2400}{| {(- 12)}^{2} - 100 |}$

Étape 14.2.2.1.4

Additionnez $- 3456$ et $2400$ .

$f' (- 12) = \frac{- 1056}{| {(- 12)}^{2} - 100 |}$

Étape 14.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.2.2.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$f' (- 12) = \frac{- 1056}{| 144 - 100 |}$

Étape 14.2.2.2.2

Soustrayez $100$ de $144$ .

$f' (- 12) = \frac{- 1056}{| 44 |}$

Étape 14.2.2.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $44$ est $44$ .

$f' (- 12) = \frac{- 1056}{44}$

Étape 14.2.2.3

Divisez $- 1056$ par $44$ .

$f' (- 12) = - 24$

Étape 14.2.2.4

La réponse finale est $- 24$ .

$- 24$

Étape 14.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 5$ , de l’intervalle $(- 10, 0)$ dans la dérivée première $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f' (- 5) = \frac{2 {(- 5)}^{3} - 200 \cdot - 5}{| {(- 5)}^{2} - 100 |}$

Étape 14.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$f' (- 5) = \frac{2 \cdot - 125 - 200 \cdot - 5}{| {(- 5)}^{2} - 100 |}$

Étape 14.3.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 125$ .

$f' (- 5) = \frac{- 250 - 200 \cdot - 5}{| {(- 5)}^{2} - 100 |}$

Étape 14.3.2.1.3

Multipliez $- 200$ par $- 5$ .

$f' (- 5) = \frac{- 250 + 1000}{| {(- 5)}^{2} - 100 |}$

Étape 14.3.2.1.4

Additionnez $- 250$ et $1000$ .

$f' (- 5) = \frac{750}{| {(- 5)}^{2} - 100 |}$

Étape 14.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.3.2.2.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 5) = \frac{750}{| 25 - 100 |}$

Étape 14.3.2.2.2

Soustrayez $100$ de $25$ .

$f' (- 5) = \frac{750}{| - 75 |}$

Étape 14.3.2.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 75$ et $0$ est $75$ .

$f' (- 5) = \frac{750}{75}$

Étape 14.3.2.3

Divisez $750$ par $75$ .

$f' (- 5) = 10$

Étape 14.3.2.4

La réponse finale est $10$ .

$10$

Étape 14.4

Remplacez tout nombre, tel que $5$ , de l’intervalle $(0, 10)$ dans la dérivée première $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.4.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = \frac{2 {(5)}^{3} - 200 \cdot 5}{| {(5)}^{2} - 100 |}$

Étape 14.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 125 - 200 \cdot 5}{| 5^{2} - 100 |}$

Étape 14.4.2.1.2

Multipliez $2$ par $125$ .

$f' (5) = \frac{250 - 200 \cdot 5}{| 5^{2} - 100 |}$

Étape 14.4.2.1.3

Multipliez $- 200$ par $5$ .

$f' (5) = \frac{250 - 1000}{| 5^{2} - 100 |}$

Étape 14.4.2.1.4

Soustrayez $1000$ de $250$ .

$f' (5) = \frac{- 750}{| 5^{2} - 100 |}$

Étape 14.4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.4.2.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (5) = \frac{- 750}{| 25 - 100 |}$

Étape 14.4.2.2.2

Soustrayez $100$ de $25$ .

$f' (5) = \frac{- 750}{| - 75 |}$

Étape 14.4.2.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 75$ et $0$ est $75$ .

$f' (5) = \frac{- 750}{75}$

Étape 14.4.2.3

Divisez $- 750$ par $75$ .

$f' (5) = - 10$

Étape 14.4.2.4

La réponse finale est $- 10$ .

$- 10$

Étape 14.5

Remplacez tout nombre, tel que $12$ , de l’intervalle $(10, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.5.1

Remplacez la variable $x$ par $12$ dans l’expression.

$f' (12) = \frac{2 {(12)}^{3} - 200 \cdot 12}{| {(12)}^{2} - 100 |}$

Étape 14.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.2.1.1

Élevez $12$ à la puissance $3$ .

$f' (12) = \frac{2 \cdot 1728 - 200 \cdot 12}{| 12^{2} - 100 |}$

Étape 14.5.2.1.2

Multipliez $2$ par $1728$ .

$f' (12) = \frac{3456 - 200 \cdot 12}{| 12^{2} - 100 |}$

Étape 14.5.2.1.3

Multipliez $- 200$ par $12$ .

$f' (12) = \frac{3456 - 2400}{| 12^{2} - 100 |}$

Étape 14.5.2.1.4

Soustrayez $2400$ de $3456$ .

$f' (12) = \frac{1056}{| 12^{2} - 100 |}$

Étape 14.5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.5.2.2.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$f' (12) = \frac{1056}{| 144 - 100 |}$

Étape 14.5.2.2.2

Soustrayez $100$ de $144$ .

$f' (12) = \frac{1056}{| 44 |}$

Étape 14.5.2.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $44$ est $44$ .

$f' (12) = \frac{1056}{44}$

Étape 14.5.2.3

Divisez $1056$ par $44$ .

$f' (12) = 24$

Étape 14.5.2.4

La réponse finale est $24$ .

$24$

Étape 14.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - 10$ , $x = - 10$ est un minimum local.

$x = - 10$ est un minimum local

Étape 14.7

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 14.8

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 10$ , $x = 10$ est un minimum local.

$x = 10$ est un minimum local

Étape 14.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = | x^{2} - 100 |$ .

$x = - 10$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = 10$ est un minimum local

$x = - 10$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = 10$ est un minimum local

Étape 15