Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = | \frac{1}{3} x^{3} - 9 |$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 9$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{3} x^{3} - 9$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} - 9]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} - 9]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{3} x^{3} - 9$ .

$\frac{\frac{1}{3} x^{3} - 9}{| \frac{1}{3} x^{3} - 9 |} \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} - 9]$

Étape 1.2

Associez les fractions.

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Étape 1.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{3} - 9}{| \frac{1}{3} x^{3} - 9 |} \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} - 9]$

Étape 1.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{3} - 9}{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} - 9]$

Étape 1.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{3} - 9}{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} - 9]$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{\frac{x^{3}}{3} - 9}{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{x^{3}}{3} - 9}{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} - 9]$

Étape 1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.4.1

Associez.

$\frac{3 (\frac{x^{3}}{3} - 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} - 9]$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \cdot - 9}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} - 9]$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \cdot - 9}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} - 9]$

Étape 1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3} + 3 \cdot - 9}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} - 9]$

Étape 1.4.4

Multipliez $3$ par $- 9$ .

$\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} - 9]$

Étape 1.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{3}}{3} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} (\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 1.6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} (\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 1.8

Simplifiez les termes.

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Étape 1.8.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} (\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 1.8.2

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} (\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 1.8.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.8.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} (\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 1.8.3.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} (x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 1.9

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} (x^{2} + 0)$

Étape 1.10

Associez les fractions.

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Étape 1.10.1

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} x^{2}$

Étape 1.10.2

Associez $\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$ et $x^{2}$ .

$\frac{(x^{3} - 27) x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$

Étape 1.11

Simplifiez

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Étape 1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} x^{2} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$

Étape 1.11.2

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.11.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3 + 2} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$

Étape 1.11.2.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{x^{5} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{5} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 27 x^{2}}{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x^{5} - 27 x^{2}}{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{5} - 27 x^{2}$ et $g (x) = | \frac{x^{3}}{3} - 9 |$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | \frac{d}{d x} (x^{5} - 27 x^{2}) - (x^{5} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 27 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (\frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 27 x^{2})) - (x^{5} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 27 x^{2})) - (x^{5} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.3.3

Comme $- 27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 27 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 27 \frac{d}{d x} x^{2}) - (x^{5} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 27 (2 x)) - (x^{5} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $- 27$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) - (x^{5} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = \frac{x^{3}}{3} - 9$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x^{3}}{3} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) - (x^{5} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3} - 9))}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.4.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) - (x^{5} - 27 x^{2}) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3} - 9))}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x^{3}}{3} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) - (x^{5} - 27 x^{2}) (\frac{\frac{x^{3}}{3} - 9}{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3} - 9))}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{\frac{x^{3}}{3} - 9}{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) - (x^{5} - 27 x^{2}) (\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{x^{3}}{3} - 9}{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3} - 9))}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez les termes.

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Étape 2.6.1

Associez.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) - (x^{5} - 27 x^{2}) (\frac{3 (\frac{x^{3}}{3} - 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3} - 9))}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) - (x^{5} - 27 x^{2}) (\frac{3 (\frac{x^{3}}{3}) + 3 \cdot - 9}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3} - 9))}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.6.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.6.3.1

Annulez le facteur commun.

Étape 2.6.3.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) - (x^{5} - 27 x^{2}) (\frac{x^{3} + 3 \cdot - 9}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3} - 9))}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.6.4

Multipliez $3$ par $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) - (x^{5} - 27 x^{2}) (\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3} - 9))}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{3}}{3} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) - (x^{5} - 27 x^{2}) (\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) - (x^{5} - 27 x^{2}) (\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) - (x^{5} - 27 x^{2}) (\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \cdot (\frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.10

Simplifiez les termes.

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Étape 2.10.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) - (x^{5} - 27 x^{2}) (\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \cdot (\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.10.2

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) - (x^{5} - 27 x^{2}) (\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \cdot (\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.10.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.10.3.1

Annulez le facteur commun.

Étape 2.10.3.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) - (x^{5} - 27 x^{2}) (\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \cdot (x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.11

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) - (x^{5} - 27 x^{2}) (\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \cdot (x^{2} + 0))}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.12

Associez les fractions.

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Étape 2.12.1

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) - (x^{5} - 27 x^{2}) (\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \cdot x^{2})}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.12.2

Associez $\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) - (x^{5} - 27 x^{2}) \frac{(x^{3} - 27) x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.12.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) - (x^{5} - 27 x^{2}) \frac{(x^{3} - 27) x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) - (x^{5} - 27 x^{2}) \frac{(x^{3} - 27) x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13

Simplifiez

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Étape 2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) + (- x^{5} - (- 27 x^{2})) (\frac{(x^{3} - 27) x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |})}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4} - 54 x) + (- x^{5} - (- 27 x^{2})) (\frac{x^{3} x^{2} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |})}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.13.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.13.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{| \frac{x^{3}}{3} - 9 | (5 x^{4}) + | \frac{x^{3}}{3} - 9 | (- 54 x) + (- x^{5} - (- 27 x^{2})) (\frac{x^{3} x^{2} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |})}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} + | \frac{x^{3}}{3} - 9 | (- 54 x) + (- x^{5} - (- 27 x^{2})) (\frac{x^{3} x^{2} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |})}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + (- x^{5} - (- 27 x^{2})) (\frac{x^{3} x^{2} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |})}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.13.3.1.4.1

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.1.4.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + (- x^{5} - (- 27 x^{2})) (\frac{x^{3 + 2} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |})}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.4.1.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + (- x^{5} - (- 27 x^{2})) (\frac{x^{5} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |})}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.4.2

Réécrivez $x^{5} - 27 x^{2}$ en forme factorisée.

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Étape 2.13.3.1.4.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5} - 27 x^{2}$ .

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Étape 2.13.3.1.4.2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + (- x^{5} - (- 27 x^{2})) (\frac{x^{2} x^{3} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |})}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.4.2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 27 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + (- x^{5} - (- 27 x^{2})) (\frac{x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |})}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.4.2.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot - 27$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + (- x^{5} - (- 27 x^{2})) (\frac{x^{2} (x^{3} - 27)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |})}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.4.2.2

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + (- x^{5} - (- 27 x^{2})) (\frac{x^{2} (x^{3} - 3^{3})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |})}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.4.2.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + (- x^{5} - (- 27 x^{2})) (\frac{x^{2} ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |})}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.4.2.4

Simplifiez

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Étape 2.13.3.1.4.2.4.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + (- x^{5} - (- 27 x^{2})) (\frac{x^{2} ((x - 3) (x^{2} + 3 \cdot x + 3^{2}))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |})}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.4.2.4.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + (- x^{5} - (- 27 x^{2})) (\frac{x^{2} ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |})}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + (- x^{5} - (- 27 x^{2})) (\frac{x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |})}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.5

Multipliez $- 27$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + (- x^{5} + 27 x^{2}) (\frac{x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |})}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.6

Multipliez $- x^{5} + 27 x^{2}$ par $\frac{x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{(- x^{5} + 27 x^{2}) (x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.13.3.1.7.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{5} + 27 x^{2}$ .

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Étape 2.13.3.1.7.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{(x^{2} (- x^{3}) + 27 x^{2}) x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $27 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{(x^{2} (- x^{3}) + x^{2} \cdot 27) x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (- x^{3}) + x^{2} \cdot 27$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{2} (- x^{3} + 27) x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.2

Réécrivez $- x^{3}$ comme ${(- x)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{2} ({(- x)}^{3} + 27) x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.3

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{2} ({(- x)}^{3} + 3^{3}) x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = - x$ et $b = 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{2} ((- x + 3) ({(- x)}^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.5

Simplifiez

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Étape 2.13.3.1.7.5.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{2} ((- x + 3) ({(- 1)}^{2} x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.5.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{2} ((- x + 3) (1 x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.5.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{2} ((- x + 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.5.4

Multipliez $- - x$ .

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Étape 2.13.3.1.7.5.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{2} ((- x + 3) (x^{2} + 1 x \cdot 3 + 3^{2})) x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.5.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

Étape 2.13.3.1.7.5.5

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{2} ((- x + 3) (x^{2} + 3 \cdot x + 3^{2})) x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.5.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{2} ((- x + 3) (x^{2} + 3 x + 9)) x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{2} (- x + 3) (x^{2} + 3 x + 9) x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.6

Associez les exposants.

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Étape 2.13.3.1.7.6.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.1.7.6.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{2} x^{2} (- x + 3) (x^{2} + 3 x + 9) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{2 + 2} (- x + 3) (x^{2} + 3 x + 9) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.6.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (- x + 3) (x^{2} + 3 x + 9) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (- (x) + 3) (x^{2} + 3 x + 9) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.6.3

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (- (x) - 1 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (- (x - 3)) (x^{2} + 3 x + 9) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.6.5

Réécrivez $- (x - 3)$ comme $- 1 (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (- 1 (x - 3)) (x^{2} + 3 x + 9) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.6.6

Élevez $x - 3$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} \cdot (- 1 ((x - 3) (x - 3)) (x^{2} + 3 x + 9) (x^{2} + 3 x + 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.6.7

Élevez $x - 3$ à la puissance $1$ .

Étape 2.13.3.1.7.6.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} \cdot (- 1 {(x - 3)}^{1 + 1} (x^{2} + 3 x + 9) (x^{2} + 3 x + 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.6.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} \cdot (- 1 {(x - 3)}^{2} (x^{2} + 3 x + 9) (x^{2} + 3 x + 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.6.10

Élevez $x^{2} + 3 x + 9$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} \cdot (- 1 {(x - 3)}^{2} ((x^{2} + 3 x + 9) (x^{2} + 3 x + 9)))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.6.11

Élevez $x^{2} + 3 x + 9$ à la puissance $1$ .

Étape 2.13.3.1.7.6.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} \cdot (- 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{1 + 1})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.6.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} \cdot (- 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.7.7

Factorisez le signe négatif.

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{- x^{4} {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} - 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x - \frac{x^{4} {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.2

Pour écrire $5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + 5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} \cdot \frac{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} - \frac{x^{4} {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.3

Associez $5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4}$ et $\frac{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} (3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} - \frac{x^{4} {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} (3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |) - x^{4} {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.13.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.13.3.5.1.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} (3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |) - x^{4} {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.3.5.1.1.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x^{4} (3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |)$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | (3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |)) - x^{4} {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.1.2

Factorisez $x^{4}$ à partir de $- x^{4} {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | (3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |)) + x^{4} (- 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.1.3

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{4} (5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | (3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |)) + x^{4} (- 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | (3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |) - 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.2

Multipliez $5 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | (3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.3.5.1.2.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | | \frac{x^{3}}{3} - 9 | - 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.2.2

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | (\frac{x^{3}}{3} - 9) (\frac{x^{3}}{3} - 9) | - 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.2.3

Élevez $\frac{x^{3}}{3} - 9$ à la puissance $1$ .

Étape 2.13.3.5.1.2.4

Élevez $\frac{x^{3}}{3} - 9$ à la puissance $1$ .

Étape 2.13.3.5.1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | {(\frac{x^{3}}{3} - 9)}^{1 + 1} | - 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | {(\frac{x^{3}}{3} - 9)}^{2} | - 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.3

Réécrivez ${(\frac{x^{3}}{3} - 9)}^{2}$ comme $(\frac{x^{3}}{3} - 9) (\frac{x^{3}}{3} - 9)$ .

Étape 2.13.3.5.1.4

Développez $(\frac{x^{3}}{3} - 9) (\frac{x^{3}}{3} - 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.13.3.5.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{3}}{3} \cdot (\frac{x^{3}}{3} - 9) - 9 (\frac{x^{3}}{3} - 9) | - 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 9 - 9 (\frac{x^{3}}{3} - 9) | - 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 9 - 9 \frac{x^{3}}{3} - 9 \cdot - 9 | - 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.13.3.5.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.13.3.5.1.5.1.1

Associez.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{3} x^{3}}{3 \cdot 3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 9 - 9 \frac{x^{3}}{3} - 9 \cdot - 9 | - 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.5.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.5.1.5.1.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{3 + 3}}{3 \cdot 3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 9 - 9 \frac{x^{3}}{3} - 9 \cdot - 9 | - 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.5.1.2.2

Additionnez $3$ et $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{3 \cdot 3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 9 - 9 \frac{x^{3}}{3} - 9 \cdot - 9 | - 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.5.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 9 - 9 \frac{x^{3}}{3} - 9 \cdot - 9 | - 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.5.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.13.3.5.1.5.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} + \frac{x^{3}}{3} \cdot (3 (- 3)) - 9 \frac{x^{3}}{3} - 9 \cdot - 9 | - 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.5.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} + \frac{x^{3}}{3} \cdot (3 \cdot - 3) - 9 \frac{x^{3}}{3} - 9 \cdot - 9 | - 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.5.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} + x^{3} \cdot - 3 - 9 \frac{x^{3}}{3} - 9 \cdot - 9 | - 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.5.1.5

Déplacez $- 3$ à gauche de $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 3 \cdot x^{3} - 9 \frac{x^{3}}{3} - 9 \cdot - 9 | - 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.5.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.13.3.5.1.5.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 3 x^{3} + 3 (- 3) (\frac{x^{3}}{3}) - 9 \cdot - 9 | - 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.5.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 3 x^{3} + 3 \cdot (- 3 \frac{x^{3}}{3}) - 9 \cdot - 9 | - 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.5.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 3 x^{3} - 3 x^{3} - 9 \cdot - 9 | - 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.5.1.7

Multipliez $- 9$ par $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 3 x^{3} - 3 x^{3} + 81 | - 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.5.2

Soustrayez $3 x^{3}$ de $- 3 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - 1 {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.6

Réécrivez ${(x - 3)}^{2}$ comme $(x - 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - 1 ((x - 3) (x - 3)) {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.7

Développez $(x - 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.13.3.5.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - 1 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - 1 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - 1 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.13.3.5.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.13.3.5.1.8.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - 1 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.8.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - 1 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.8.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - 1 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.8.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - 1 (x^{2} - 6 x + 9) {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- 1 x^{2} - 1 (- 6 x) - 1 \cdot 9) {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.10

Simplifiez

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Étape 2.13.3.5.1.10.1

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} - 1 (- 6 x) - 1 \cdot 9) {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.10.2

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 1 \cdot 9) {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.10.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) {(x^{2} + 3 x + 9)}^{2})}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.11

Réécrivez ${(x^{2} + 3 x + 9)}^{2}$ comme $(x^{2} + 3 x + 9) (x^{2} + 3 x + 9)$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) ((x^{2} + 3 x + 9) (x^{2} + 3 x + 9)))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.12

Développez $(x^{2} + 3 x + 9) (x^{2} + 3 x + 9)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{2} x^{2} + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 9 + 3 x \cdot x^{2} + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (3 x) + 9 \cdot 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.13.3.5.1.13.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.5.1.13.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{2 + 2} + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 9 + 3 x \cdot x^{2} + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (3 x) + 9 \cdot 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.13.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{4} + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 9 + 3 x \cdot x^{2} + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (3 x) + 9 \cdot 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.13.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{4} + 3 x^{2} x + x^{2} \cdot 9 + 3 x \cdot x^{2} + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (3 x) + 9 \cdot 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.13.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.5.1.13.3.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{4} + 3 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 9 + 3 x \cdot x^{2} + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (3 x) + 9 \cdot 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.13.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.3.5.1.13.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.13.3.5.1.13.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{4} + 3 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 9 + 3 x \cdot x^{2} + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (3 x) + 9 \cdot 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.13.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{4} + 3 x^{3} + x^{2} \cdot 9 + 3 x \cdot x^{2} + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (3 x) + 9 \cdot 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.13.4

Déplacez $9$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 \cdot x^{2} + 3 x \cdot x^{2} + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (3 x) + 9 \cdot 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.13.5

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.5.1.13.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 (x^{2} x) + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (3 x) + 9 \cdot 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.13.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.3.5.1.13.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.13.3.5.1.13.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x^{2 + 1} + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (3 x) + 9 \cdot 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.13.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (3 x) + 9 \cdot 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.13.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (3 x) + 9 \cdot 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.13.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.5.1.13.7.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (3 x) + 9 \cdot 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.13.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (3 x) + 9 \cdot 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.13.8

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (3 x) + 9 \cdot 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.13.9

Multipliez $9$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 9 x^{2} + 9 (3 x) + 9 \cdot 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.13.10

Multipliez $3$ par $9$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 9 x^{2} + 27 x + 9 \cdot 9))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.13.11

Multipliez $9$ par $9$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 9 x^{2} + 27 x + 81))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.14

Additionnez $3 x^{3}$ et $3 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 27 x + 9 x^{2} + 27 x + 81))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.15

Additionnez $9 x^{2}$ et $9 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{4} + 6 x^{3} + 18 x^{2} + 27 x + 9 x^{2} + 27 x + 81))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.16

Additionnez $18 x^{2}$ et $9 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{4} + 6 x^{3} + 27 x^{2} + 27 x + 27 x + 81))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.17

Additionnez $27 x$ et $27 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + (- x^{2} + 6 x - 9) (x^{4} + 6 x^{3} + 27 x^{2} + 54 x + 81))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.18

Développez $(- x^{2} + 6 x - 9) (x^{4} + 6 x^{3} + 27 x^{2} + 54 x + 81)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{2} x^{4} - x^{2} (6 x^{3}) - x^{2} (27 x^{2}) - x^{2} (54 x) - x^{2} \cdot 81 + 6 x \cdot x^{4} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.13.3.5.1.19.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.5.1.19.1.1

Déplacez $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - (x^{4} x^{2}) - x^{2} (6 x^{3}) - x^{2} (27 x^{2}) - x^{2} (54 x) - x^{2} \cdot 81 + 6 x \cdot x^{4} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{4 + 2} - x^{2} (6 x^{3}) - x^{2} (27 x^{2}) - x^{2} (54 x) - x^{2} \cdot 81 + 6 x \cdot x^{4} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.1.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - x^{2} (6 x^{3}) - x^{2} (27 x^{2}) - x^{2} (54 x) - x^{2} \cdot 81 + 6 x \cdot x^{4} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 1 \cdot (6 x^{2} x^{3}) - x^{2} (27 x^{2}) - x^{2} (54 x) - x^{2} \cdot 81 + 6 x \cdot x^{4} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.5.1.19.3.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 1 \cdot (6 (x^{3} x^{2})) - x^{2} (27 x^{2}) - x^{2} (54 x) - x^{2} \cdot 81 + 6 x \cdot x^{4} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 1 \cdot (6 x^{3 + 2}) - x^{2} (27 x^{2}) - x^{2} (54 x) - x^{2} \cdot 81 + 6 x \cdot x^{4} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.3.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 1 \cdot (6 x^{5}) - x^{2} (27 x^{2}) - x^{2} (54 x) - x^{2} \cdot 81 + 6 x \cdot x^{4} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.4

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - x^{2} (27 x^{2}) - x^{2} (54 x) - x^{2} \cdot 81 + 6 x \cdot x^{4} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 1 \cdot (27 x^{2} x^{2}) - x^{2} (54 x) - x^{2} \cdot 81 + 6 x \cdot x^{4} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.6

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.5.1.19.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 1 \cdot (27 (x^{2} x^{2})) - x^{2} (54 x) - x^{2} \cdot 81 + 6 x \cdot x^{4} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 1 \cdot (27 x^{2 + 2}) - x^{2} (54 x) - x^{2} \cdot 81 + 6 x \cdot x^{4} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.6.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 1 \cdot (27 x^{4}) - x^{2} (54 x) - x^{2} \cdot 81 + 6 x \cdot x^{4} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.7

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - x^{2} (54 x) - x^{2} \cdot 81 + 6 x \cdot x^{4} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 1 \cdot (54 x^{2} x) - x^{2} \cdot 81 + 6 x \cdot x^{4} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.9

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.3.5.1.19.9.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 1 \cdot (54 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 81 + 6 x \cdot x^{4} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.9.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.3.5.1.19.9.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.13.3.5.1.19.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 1 \cdot (54 x^{1 + 2}) - x^{2} \cdot 81 + 6 x \cdot x^{4} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.9.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 1 \cdot (54 x^{3}) - x^{2} \cdot 81 + 6 x \cdot x^{4} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.10

Multipliez $- 1$ par $54$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - x^{2} \cdot 81 + 6 x \cdot x^{4} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.11

Multipliez $81$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x \cdot x^{4} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.12

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.5.1.19.12.1

Déplacez $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 (x^{4} x) + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.12.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 2.13.3.5.1.19.12.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.13.3.5.1.19.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{4 + 1} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.12.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{5} + 6 x (6 x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.13

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{5} + 6 \cdot (6 x \cdot x^{3}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.14

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.5.1.19.14.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{5} + 6 \cdot (6 (x^{3} x)) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.14.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 2.13.3.5.1.19.14.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.13.3.5.1.19.14.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{5} + 6 \cdot (6 x^{3 + 1}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.14.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{5} + 6 \cdot (6 x^{4}) + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.15

Multipliez $6$ par $6$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{5} + 36 x^{4} + 6 x (27 x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.16

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{5} + 36 x^{4} + 6 \cdot (27 x \cdot x^{2}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.17

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.5.1.19.17.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{5} + 36 x^{4} + 6 \cdot (27 (x^{2} x)) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.17.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.13.3.5.1.19.17.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.13.3.5.1.19.17.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{5} + 36 x^{4} + 6 \cdot (27 x^{2 + 1}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.17.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{5} + 36 x^{4} + 6 \cdot (27 x^{3}) + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.18

Multipliez $6$ par $27$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{5} + 36 x^{4} + 162 x^{3} + 6 x (54 x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.19

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{5} + 36 x^{4} + 162 x^{3} + 6 \cdot (54 x \cdot x) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.20

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.5.1.19.20.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{5} + 36 x^{4} + 162 x^{3} + 6 \cdot (54 (x \cdot x)) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.20.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{5} + 36 x^{4} + 162 x^{3} + 6 \cdot (54 x^{2}) + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.21

Multipliez $6$ par $54$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{5} + 36 x^{4} + 162 x^{3} + 324 x^{2} + 6 x \cdot 81 - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.22

Multipliez $81$ par $6$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{5} + 36 x^{4} + 162 x^{3} + 324 x^{2} + 486 x - 9 x^{4} - 9 (6 x^{3}) - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.23

Multipliez $6$ par $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{5} + 36 x^{4} + 162 x^{3} + 324 x^{2} + 486 x - 9 x^{4} - 54 x^{3} - 9 (27 x^{2}) - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.24

Multipliez $27$ par $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{5} + 36 x^{4} + 162 x^{3} + 324 x^{2} + 486 x - 9 x^{4} - 54 x^{3} - 243 x^{2} - 9 (54 x) - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.25

Multipliez $54$ par $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{5} + 36 x^{4} + 162 x^{3} + 324 x^{2} + 486 x - 9 x^{4} - 54 x^{3} - 243 x^{2} - 486 x - 9 \cdot 81)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.19.26

Multipliez $- 9$ par $81$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{5} + 36 x^{4} + 162 x^{3} + 324 x^{2} + 486 x - 9 x^{4} - 54 x^{3} - 243 x^{2} - 486 x - 729)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.20

Associez les termes opposés dans $- x^{6} - 6 x^{5} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 6 x^{5} + 36 x^{4} + 162 x^{3} + 324 x^{2} + 486 x - 9 x^{4} - 54 x^{3} - 243 x^{2} - 486 x - 729$ .

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Étape 2.13.3.5.1.20.1

Additionnez $- 6 x^{5}$ et $6 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 0 + 36 x^{4} + 162 x^{3} + 324 x^{2} + 486 x - 9 x^{4} - 54 x^{3} - 243 x^{2} - 486 x - 729)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.20.2

Additionnez $- x^{6} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 36 x^{4} + 162 x^{3} + 324 x^{2} + 486 x - 9 x^{4} - 54 x^{3} - 243 x^{2} - 486 x - 729)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.20.3

Soustrayez $486 x$ de $486 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 36 x^{4} + 162 x^{3} + 324 x^{2} - 9 x^{4} - 54 x^{3} - 243 x^{2} + 0 - 729)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.20.4

Additionnez $- x^{6} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 36 x^{4} + 162 x^{3} + 324 x^{2} - 9 x^{4} - 54 x^{3} - 243 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 27 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 36 x^{4} + 162 x^{3} + 324 x^{2} - 9 x^{4} - 54 x^{3} - 243 x^{2} - 729)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.21

Additionnez $- 27 x^{4}$ et $36 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} + 9 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x^{3} + 324 x^{2} - 9 x^{4} - 54 x^{3} - 243 x^{2} - 729)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.22

Associez les termes opposés dans $- x^{6} + 9 x^{4} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x^{3} + 324 x^{2} - 9 x^{4} - 54 x^{3} - 243 x^{2} - 729$ .

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Étape 2.13.3.5.1.22.1

Soustrayez $9 x^{4}$ de $9 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x^{3} + 324 x^{2} + 0 - 54 x^{3} - 243 x^{2} - 729)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.22.2

Additionnez $- x^{6} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x^{3} + 324 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} - 54 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x^{3} + 324 x^{2} - 54 x^{3} - 243 x^{2} - 729)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.23

Additionnez $- 54 x^{3}$ et $162 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} + 108 x^{3} - 81 x^{2} + 324 x^{2} - 54 x^{3} - 243 x^{2} - 729)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.24

Soustrayez $54 x^{3}$ de $108 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} + 54 x^{3} - 81 x^{2} + 324 x^{2} - 243 x^{2} - 729)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.25

Additionnez $- 81 x^{2}$ et $324 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} + 54 x^{3} + 243 x^{2} - 243 x^{2} - 729)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.26

Associez les termes opposés dans $- x^{6} + 54 x^{3} + 243 x^{2} - 243 x^{2} - 729$ .

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Étape 2.13.3.5.1.26.1

Soustrayez $243 x^{2}$ de $243 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} + 54 x^{3} + 0 - 729)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.26.2

Additionnez $- x^{6} + 54 x^{3}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6} + 54 x^{3} - 729)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.27

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (- x^{6} + 54 x^{3} + 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - 729)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.28

Réécrivez $- x^{6} + 54 x^{3} + 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - 729$ en forme factorisée.

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Étape 2.13.3.5.1.28.1

Regroupez les termes.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (- 729 - x^{6} + 54 x^{3} + 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.28.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{6} + 54 x^{3} + 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |$ .

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Étape 2.13.3.5.1.28.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (- 729 - (x^{6}) + 54 x^{3} + 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.28.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $54 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (- 729 - (x^{6}) - (- 54 x^{3}) + 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.28.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (- 729 - (x^{6}) - (- 54 x^{3}) - (- 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.28.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{6}) - (- 54 x^{3})$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (- 729 - (x^{6} - 54 x^{3}) - (- 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.28.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{6} - 54 x^{3}) - (- 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (- 729 - (x^{6} - 54 x^{3} - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.28.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 729 - (x^{6} - 54 x^{3} - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)$ .

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Étape 2.13.3.5.1.28.3.1

Réécrivez $- 729$ comme $- 1 (729)$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (- 1 \cdot 729 - (x^{6} - 54 x^{3} - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.28.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (729) - (x^{6} - 54 x^{3} - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (- 1 (729 + x^{6} - 54 x^{3} - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.28.3.3

Réécrivez $- 1 (729 + x^{6} - 54 x^{3} - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)$ comme $- (729 + x^{6} - 54 x^{3} - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (- (729 + x^{6} - 54 x^{3} - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.28.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} (- (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{x^{4} \cdot (- 1 (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.1.29

Factorisez le signe négatif.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x + \frac{- x^{4} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x - \frac{x^{4} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.6

Pour écrire $- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x \cdot \frac{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} - \frac{x^{4} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.7

Associez $- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x$ et $\frac{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x (3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} - \frac{x^{4} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x (3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |) - x^{4} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.13.3.9.1

Factorisez $x$ à partir de $- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x (3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |) - x^{4} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)$ .

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Étape 2.13.3.9.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | x (3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | (3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |)) - x^{4} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{4} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | (3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |)) + x (- x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | (3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |)) + x (- x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | (3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |) - x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.2

Multipliez $- 54 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | (3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |)$ .

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Étape 2.13.3.9.2.1

Multipliez $3$ par $- 54$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | | \frac{x^{3}}{3} - 9 | - x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.2.2

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | (\frac{x^{3}}{3} - 9) (\frac{x^{3}}{3} - 9) | - x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.2.3

Élevez $\frac{x^{3}}{3} - 9$ à la puissance $1$ .

Étape 2.13.3.9.2.4

Élevez $\frac{x^{3}}{3} - 9$ à la puissance $1$ .

Étape 2.13.3.9.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | {(\frac{x^{3}}{3} - 9)}^{1 + 1} | - x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | {(\frac{x^{3}}{3} - 9)}^{2} | - x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.3

Réécrivez ${(\frac{x^{3}}{3} - 9)}^{2}$ comme $(\frac{x^{3}}{3} - 9) (\frac{x^{3}}{3} - 9)$ .

Étape 2.13.3.9.4

Développez $(\frac{x^{3}}{3} - 9) (\frac{x^{3}}{3} - 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.13.3.9.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{3}}{3} \cdot (\frac{x^{3}}{3} - 9) - 9 (\frac{x^{3}}{3} - 9) | - x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 9 - 9 (\frac{x^{3}}{3} - 9) | - x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 9 - 9 \frac{x^{3}}{3} - 9 \cdot - 9 | - x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.3.9.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.3.9.5.1.1

Associez.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{3} x^{3}}{3 \cdot 3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 9 - 9 \frac{x^{3}}{3} - 9 \cdot - 9 | - x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.5.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.3.9.5.1.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{3 + 3}}{3 \cdot 3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 9 - 9 \frac{x^{3}}{3} - 9 \cdot - 9 | - x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.5.1.2.2

Additionnez $3$ et $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{3 \cdot 3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 9 - 9 \frac{x^{3}}{3} - 9 \cdot - 9 | - x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.5.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{9} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 9 - 9 \frac{x^{3}}{3} - 9 \cdot - 9 | - x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.5.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.13.3.9.5.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{9} + \frac{x^{3}}{3} \cdot (3 (- 3)) - 9 \frac{x^{3}}{3} - 9 \cdot - 9 | - x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.5.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{9} + \frac{x^{3}}{3} \cdot (3 \cdot - 3) - 9 \frac{x^{3}}{3} - 9 \cdot - 9 | - x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.5.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{9} + x^{3} \cdot - 3 - 9 \frac{x^{3}}{3} - 9 \cdot - 9 | - x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.5.1.5

Déplacez $- 3$ à gauche de $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{9} - 3 \cdot x^{3} - 9 \frac{x^{3}}{3} - 9 \cdot - 9 | - x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.5.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.13.3.9.5.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{9} - 3 x^{3} + 3 (- 3) (\frac{x^{3}}{3}) - 9 \cdot - 9 | - x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.5.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{9} - 3 x^{3} + 3 \cdot (- 3 \frac{x^{3}}{3}) - 9 \cdot - 9 | - x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.5.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{9} - 3 x^{3} - 3 x^{3} - 9 \cdot - 9 | - x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.5.1.7

Multipliez $- 9$ par $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{9} - 3 x^{3} - 3 x^{3} + 81 | - x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.5.2

Soustrayez $3 x^{3}$ de $- 3 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{3} (x^{6} - 54 x^{3} + 729 - 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.6

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{3} x^{6} - x^{3} (- 54 x^{3}) - x^{3} \cdot 729 - x^{3} (- 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.7

Simplifiez

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Étape 2.13.3.9.7.1

Multipliez $x^{3}$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.9.7.1.1

Déplacez $x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - (x^{6} x^{3}) - x^{3} (- 54 x^{3}) - x^{3} \cdot 729 - x^{3} (- 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{6 + 3} - x^{3} (- 54 x^{3}) - x^{3} \cdot 729 - x^{3} (- 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.7.1.3

Additionnez $6$ et $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{9} - x^{3} (- 54 x^{3}) - x^{3} \cdot 729 - x^{3} (- 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{9} - 1 \cdot (- 54 x^{3} x^{3}) - x^{3} \cdot 729 - x^{3} (- 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.7.3

Multipliez $729$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{9} - 1 \cdot (- 54 x^{3} x^{3}) - 729 x^{3} - x^{3} (- 15 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.7.4

Multipliez $- 15$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{9} - 1 \cdot (- 54 x^{3} x^{3}) - 729 x^{3} + 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.13.3.9.8.1

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.9.8.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{9} - 1 \cdot (- 54 (x^{3} x^{3})) - 729 x^{3} + 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{9} - 1 \cdot (- 54 x^{3 + 3}) - 729 x^{3} + 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.8.1.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{9} - 1 \cdot (- 54 x^{6}) - 729 x^{3} + 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 54$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - x^{9} + 54 x^{6} - 729 x^{3} + 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.9.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- x^{9} + 54 x^{6} - 729 x^{3} + 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{9}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- (x^{9}) + 54 x^{6} - 729 x^{3} + 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $54 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- (x^{9}) - (- 54 x^{6}) - 729 x^{3} + 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{9}) - (- 54 x^{6})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- (x^{9} - 54 x^{6}) - 729 x^{3} + 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- 729 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- (x^{9} - 54 x^{6}) - (729 x^{3}) + 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.14

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{9} - 54 x^{6}) - (729 x^{3})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- (x^{9} - 54 x^{6} + 729 x^{3}) + 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | - 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.15

Factorisez $- 1$ à partir de $15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- (x^{9} - 54 x^{6} + 729 x^{3}) - (- 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |) - 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.16

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{9} - 54 x^{6} + 729 x^{3}) - (- 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- (x^{9} - 54 x^{6} + 729 x^{3} - 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |) - 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.17

Factorisez $- 1$ à partir de $- 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- (x^{9} - 54 x^{6} + 729 x^{3} - 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |) - (162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.18

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{9} - 54 x^{6} + 729 x^{3} - 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |) - (162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- (x^{9} - 54 x^{6} + 729 x^{3} - 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.19

Réécrivez $- (x^{9} - 54 x^{6} + 729 x^{3} - 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)$ comme $- 1 (x^{9} - 54 x^{6} + 729 x^{3} - 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 1 (x^{9} - 54 x^{6} + 729 x^{3} - 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |))}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.3.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x (x^{9} - 54 x^{6} + 729 x^{3} - 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.4

Associez des termes.

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Étape 2.13.4.1

Réécrivez $\frac{- \frac{x (x^{9} - 54 x^{6} + 729 x^{3} - 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$ comme un produit.

$f'' (x) = - \frac{x (x^{9} - 54 x^{6} + 729 x^{3} - 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \cdot \frac{1}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$

Étape 2.13.4.2

Multipliez $\frac{1}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2}}$ par $\frac{x (x^{9} - 54 x^{6} + 729 x^{3} - 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$ .

$f'' (x) = - \frac{x (x^{9} - 54 x^{6} + 729 x^{3} - 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{3 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2} (3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |)}$

Étape 2.13.4.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{x (x^{9} - 54 x^{6} + 729 x^{3} - 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{9 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2} | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$

Étape 2.13.4.4

Élevez $| \frac{x^{3}}{3} - 9 |$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x (x^{9} - 54 x^{6} + 729 x^{3} - 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{9 (| \frac{x^{3}}{3} - 9 | {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{2})}$

Étape 2.13.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{x (x^{9} - 54 x^{6} + 729 x^{3} - 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{9 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{1 + 2}}$

Étape 2.13.4.6

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x (x^{9} - 54 x^{6} + 729 x^{3} - 15 x^{3} | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 | + 162 | \frac{x^{6}}{9} - 6 x^{3} + 81 |)}{9 {| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{x^{5} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 9$ .

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Étape 4.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{3} x^{3} - 9$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} - 9]$

Étape 4.1.1.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} - 9]$

Étape 4.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{3} x^{3} - 9$ .

$\frac{\frac{1}{3} x^{3} - 9}{| \frac{1}{3} x^{3} - 9 |} \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} - 9]$

Étape 4.1.2

Associez les fractions.

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Étape 4.1.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{3} - 9}{| \frac{1}{3} x^{3} - 9 |} \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} - 9]$

Étape 4.1.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{3} - 9}{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} - 9]$

Étape 4.1.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{3} - 9}{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} - 9]$

Étape 4.1.3

Multipliez $\frac{\frac{x^{3}}{3} - 9}{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{x^{3}}{3} - 9}{| \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} - 9]$

Étape 4.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.4.1

Associez.

$\frac{3 (\frac{x^{3}}{3} - 9)}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} - 9]$

Étape 4.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \cdot - 9}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} - 9]$

Étape 4.1.4.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \cdot - 9}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} - 9]$

Étape 4.1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3} + 3 \cdot - 9}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} - 9]$

Étape 4.1.4.4

Multipliez $3$ par $- 9$ .

$\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} - 9]$

Étape 4.1.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{3}}{3} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} (\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 4.1.6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 4.1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} (\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 4.1.8

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.8.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} (\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 4.1.8.2

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} (\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 4.1.8.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.8.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} (\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 4.1.8.3.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} (x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 4.1.9

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} (x^{2} + 0)$

Étape 4.1.10

Associez les fractions.

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Étape 4.1.10.1

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} x^{2}$

Étape 4.1.10.2

Associez $\frac{x^{3} - 27}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$ et $x^{2}$ .

$\frac{(x^{3} - 27) x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$

Étape 4.1.11

Simplifiez

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Étape 4.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} x^{2} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$

Étape 4.1.11.2

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.11.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3 + 2} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$

Étape 4.1.11.2.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{5} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x^{5} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$ .

$\frac{x^{5} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x^{5} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x^{5} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{5} - 27 x^{2} = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5} - 27 x^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5}$ .

$x^{2} x^{3} - 27 x^{2} = 0$

Étape 5.3.1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 27 x^{2}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot - 27 = 0$

Étape 5.3.1.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot - 27$ .

$x^{2} (x^{3} - 27) = 0$

Étape 5.3.1.2

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$x^{2} (x^{3} - 3^{3}) = 0$

Étape 5.3.1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$x^{2} ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Étape 5.3.1.4

Factorisez.

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Étape 5.3.1.4.1

Simplifiez

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Étape 5.3.1.4.1.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x^{2} ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

Étape 5.3.1.4.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x^{2} ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

Étape 5.3.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Étape 5.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Étape 5.3.3

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.3.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 5.3.3.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.3.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.3.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.3.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.3.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.3.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5.3.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5.3.5

Définissez $x^{2} + 3 x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.5.1

Définissez $x^{2} + 3 x + 9$ égal à $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Étape 5.3.5.2

Résolvez $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.3.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 3$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.3

Simplifiez

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Étape 5.3.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.5.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 5.3.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.3.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.3.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.3.5.2.3.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.3.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.3.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.3.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.3.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.2.4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 5.3.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.3.5.2.4.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.3.5.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.3.5.2.4.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.3.5.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 5.3.5.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 5.3.5.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.3.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.3.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.5.2.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 5.3.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.3.5.2.5.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.3.5.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.3.5.2.5.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.3.5.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 5.3.5.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 5.3.5.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.3.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ vraie.

$x = 0, 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{5} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1.1

Divisez chaque terme dans $3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 | = 0$ par $3$ .

$\frac{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 6.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 6.2.1.2.1.2

Divisez $| \frac{x^{3}}{3} - 9 |$ par $1$ .

$| \frac{x^{3}}{3} - 9 | = \frac{0}{3}$

Étape 6.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$| \frac{x^{3}}{3} - 9 | = 0$

Étape 6.2.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$\frac{x^{3}}{3} - 9 = \pm 0$

Étape 6.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\frac{x^{3}}{3} - 9 = 0$

Étape 6.2.4

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x^{3}}{3} = 9$

Étape 6.2.5

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{x^{3}}{3} = 3 \cdot 9$

Étape 6.2.6

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.2.6.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.6.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.6.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{x^{3}}{3} = 3 \cdot 9$

Étape 6.2.6.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{3} = 3 \cdot 9$

Étape 6.2.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.6.2.1

Multipliez $3$ par $9$ .

$x^{3} = 27$

Étape 6.2.7

Soustrayez $27$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 27 = 0$

Étape 6.2.8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.8.1

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$x^{3} - 3^{3} = 0$

Étape 6.2.8.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Étape 6.2.8.3

Simplifiez

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Étape 6.2.8.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2}) = 0$

Étape 6.2.8.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Étape 6.2.9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Étape 6.2.10

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.2.10.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 6.2.10.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6.2.11

Définissez $x^{2} + 3 x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.2.11.1

Définissez $x^{2} + 3 x + 9$ égal à $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Étape 6.2.11.2

Résolvez $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.11.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.2.11.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 3$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.11.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.11.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 6.2.11.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.3.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.3.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.3.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.11.2.3.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.3.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.3.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.11.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.2.11.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.11.2.4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 6.2.11.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.4.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.4.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.4.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.2.11.2.4.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.4.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.4.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.11.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.11.2.4.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.11.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 6.2.11.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 6.2.11.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.11.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.2.11.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.11.2.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 6.2.11.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.5.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.5.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.5.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.2.11.2.5.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.5.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.5.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.11.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.11.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.11.2.5.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.11.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 6.2.11.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 6.2.11.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.11.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ vraie.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = 3$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{(0) ({(0)}^{9} - 54 {(0)}^{6} + 729 {(0)}^{3} - 15 {(0)}^{3} | \frac{{(0)}^{6}}{9} - 6 {(0)}^{3} + 81 | + 162 | \frac{{(0)}^{6}}{9} - 6 {(0)}^{3} + 81 |)}{9 {| \frac{{(0)}^{3}}{3} - 9 |}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $9$ .

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Étape 9.1.1.1

Factorisez $9$ à partir de $(0) ({(0)}^{9} - 54 {(0)}^{6} + 729 {(0)}^{3} - 15 {(0)}^{3} | \frac{{(0)}^{6}}{9} - 6 {(0)}^{3} + 81 | + 162 | \frac{{(0)}^{6}}{9} - 6 {(0)}^{3} + 81 |)$ .

$- \frac{9 ((0) ({(0)}^{9} - 54 {(0)}^{6} + 729 {(0)}^{3} - 15 {(0)}^{3} | \frac{{(0)}^{6}}{9} - 6 {(0)}^{3} + 81 | + 162 | \frac{{(0)}^{6}}{9} - 6 {(0)}^{3} + 81 |))}{9 {| \frac{{(0)}^{3}}{3} - 9 |}^{3}}$

Étape 9.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.1.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9 {| \frac{{(0)}^{3}}{3} - 9 |}^{3}$ .

$- \frac{9 ((0) ({(0)}^{9} - 54 {(0)}^{6} + 729 {(0)}^{3} - 15 {(0)}^{3} | \frac{{(0)}^{6}}{9} - 6 {(0)}^{3} + 81 | + 162 | \frac{{(0)}^{6}}{9} - 6 {(0)}^{3} + 81 |))}{9 ({| \frac{{(0)}^{3}}{3} - 9 |}^{3})}$

Étape 9.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 9.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{(0) ({(0)}^{9} - 54 {(0)}^{6} + 729 {(0)}^{3} - 15 {(0)}^{3} | \frac{{(0)}^{6}}{9} - 6 {(0)}^{3} + 81 | + 162 | \frac{{(0)}^{6}}{9} - 6 {(0)}^{3} + 81 |)}{{| \frac{{(0)}^{3}}{3} - 9 |}^{3}}$

Étape 9.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{0 (0^{9} - 54 \cdot 0^{6} + 729 \cdot 0^{3} - 15 \cdot 0^{3} | \frac{0}{9} - 6 \cdot 0^{3} + 81 | + 162 | \frac{0^{6}}{9} - 6 \cdot 0^{3} + 81 |)}{{| \frac{0^{3}}{3} - 9 |}^{3}}$

Étape 9.1.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{0 (0^{9} - 54 \cdot 0^{6} + 729 \cdot 0^{3} - 15 \cdot 0^{3} | \frac{0}{9} - 6 \cdot 0^{3} + 81 | + 162 | \frac{0}{9} - 6 \cdot 0^{3} + 81 |)}{{| \frac{0^{3}}{3} - 9 |}^{3}}$

Étape 9.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{0 (0^{9} - 54 \cdot 0^{6} + 729 \cdot 0^{3} - 15 \cdot 0^{3} | \frac{0}{9} - 6 \cdot 0^{3} + 81 | + 162 | \frac{0}{9} - 6 \cdot 0^{3} + 81 |)}{{| \frac{0}{3} - 9 |}^{3}}$

Étape 9.1.2.4

Multipliez $0$ par $0^{9} - 54 \cdot 0^{6} + 729 \cdot 0^{3} - 15 \cdot 0^{3} | \frac{0}{9} - 6 \cdot 0^{3} + 81 | + 162 | \frac{0}{9} - 6 \cdot 0^{3} + 81 |$ .

$- \frac{0}{{| \frac{0}{3} - 9 |}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Pour écrire $- 9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{0}{{| \frac{0}{3} - 9 \cdot \frac{3}{3} |}^{3}}$

Étape 9.2.2

Associez $- 9$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{0}{{| \frac{0}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} |}^{3}}$

Étape 9.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{0}{{| \frac{0 - 9 \cdot 3}{3} |}^{3}}$

Étape 9.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.4.1

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$- \frac{0}{{| \frac{0 - 27}{3} |}^{3}}$

Étape 9.2.4.2

Soustrayez $27$ de $0$ .

$- \frac{0}{{| \frac{- 27}{3} |}^{3}}$

Étape 9.2.5

Divisez $- 27$ par $3$ .

$- \frac{0}{{| - 9 |}^{3}}$

Étape 9.2.6

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 9$ et $0$ est $9$ .

$- \frac{0}{9^{3}}$

Étape 9.2.7

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$- \frac{0}{729}$

Étape 9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.1

Divisez $0$ par $729$ .

$- 0$

Étape 9.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $\frac{x^{5} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \frac{{(- 2)}^{5} - 27 {(- 2)}^{2}}{3 | \frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 9 |}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = \frac{{(- 2)}^{5} - 27 {(- 2)}^{2}}{3 | \frac{- 8}{3} - 9 |}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$f' (- 2) = \frac{- 32 - 27 {(- 2)}^{2}}{3 | \frac{- 8}{3} - 9 |}$

Étape 10.2.2.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 32 - 27 \cdot 4}{3 | \frac{- 8}{3} - 9 |}$

Étape 10.2.2.2.3

Multipliez $- 27$ par $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 32 - 108}{3 | \frac{- 8}{3} - 9 |}$

Étape 10.2.2.2.4

Soustrayez $108$ de $- 32$ .

$f' (- 2) = \frac{- 140}{3 | \frac{- 8}{3} - 9 |}$

Étape 10.2.2.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.3.1

Pour écrire $- 9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 140}{3 | \frac{- 8}{3} - 9 \cdot \frac{3}{3} |}$

Étape 10.2.2.3.2

Associez $- 9$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 140}{3 | \frac{- 8}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} |}$

Étape 10.2.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 2) = \frac{- 140}{3 | \frac{- 8 - 9 \cdot 3}{3} |}$

Étape 10.2.2.3.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.3.4.1

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$f' (- 2) = \frac{- 140}{3 | \frac{- 8 - 27}{3} |}$

Étape 10.2.2.3.4.2

Soustrayez $27$ de $- 8$ .

$f' (- 2) = \frac{- 140}{3 | \frac{- 35}{3} |}$

Étape 10.2.2.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 2) = \frac{- 140}{3 | - \frac{35}{3} |}$

Étape 10.2.2.3.6

$- \frac{35}{3}$ est d’environ $- 11.\overline{6}$ qui est négatif, alors inversez $- \frac{35}{3}$ et retirez la valeur absolue

$f' (- 2) = \frac{- 140}{3 (\frac{35}{3})}$

Étape 10.2.2.4

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.4.1

Associez $3$ et $\frac{35}{3}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 140}{\frac{3 \cdot 35}{3}}$

Étape 10.2.2.4.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.4.2.1

Multipliez $3$ par $35$ .

$f' (- 2) = \frac{- 140}{\frac{105}{3}}$

Étape 10.2.2.4.2.2

Divisez $105$ par $3$ .

$f' (- 2) = \frac{- 140}{35}$

Étape 10.2.2.4.2.3

Divisez $- 140$ par $35$ .

$f' (- 2) = - 4$

Étape 10.2.2.5

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, 3)$ dans la dérivée première $\frac{x^{5} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \frac{{(2)}^{5} - 27 {(2)}^{2}}{3 | \frac{{(2)}^{3}}{3} - 9 |}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{5} - 27 \cdot 2^{2}}{3 | \frac{8}{3} - 9 |}$

Étape 10.3.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f' (2) = \frac{32 - 27 \cdot 2^{2}}{3 | \frac{8}{3} - 9 |}$

Étape 10.3.2.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = \frac{32 - 27 \cdot 4}{3 | \frac{8}{3} - 9 |}$

Étape 10.3.2.2.3

Multipliez $- 27$ par $4$ .

$f' (2) = \frac{32 - 108}{3 | \frac{8}{3} - 9 |}$

Étape 10.3.2.2.4

Soustrayez $108$ de $32$ .

$f' (2) = \frac{- 76}{3 | \frac{8}{3} - 9 |}$

Étape 10.3.2.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.3.1

Pour écrire $- 9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{- 76}{3 | \frac{8}{3} - 9 \cdot \frac{3}{3} |}$

Étape 10.3.2.3.2

Associez $- 9$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{- 76}{3 | \frac{8}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} |}$

Étape 10.3.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (2) = \frac{- 76}{3 | \frac{8 - 9 \cdot 3}{3} |}$

Étape 10.3.2.3.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.3.4.1

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$f' (2) = \frac{- 76}{3 | \frac{8 - 27}{3} |}$

Étape 10.3.2.3.4.2

Soustrayez $27$ de $8$ .

$f' (2) = \frac{- 76}{3 | \frac{- 19}{3} |}$

Étape 10.3.2.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (2) = \frac{- 76}{3 | - \frac{19}{3} |}$

Étape 10.3.2.3.6

$- \frac{19}{3}$ est d’environ $- 6.\overline{3}$ qui est négatif, alors inversez $- \frac{19}{3}$ et retirez la valeur absolue

$f' (2) = \frac{- 76}{3 (\frac{19}{3})}$

Étape 10.3.2.4

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.4.1

Associez $3$ et $\frac{19}{3}$ .

$f' (2) = \frac{- 76}{\frac{3 \cdot 19}{3}}$

Étape 10.3.2.4.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.4.2.1

Multipliez $3$ par $19$ .

$f' (2) = \frac{- 76}{\frac{57}{3}}$

Étape 10.3.2.4.2.2

Divisez $57$ par $3$ .

$f' (2) = \frac{- 76}{19}$

Étape 10.3.2.4.2.3

Divisez $- 76$ par $19$ .

$f' (2) = - 4$

Étape 10.3.2.5

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{x^{5} - 27 x^{2}}{3 | \frac{x^{3}}{3} - 9 |}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = \frac{{(6)}^{5} - 27 {(6)}^{2}}{3 | \frac{{(6)}^{3}}{3} - 9 |}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.2.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f' (6) = \frac{6^{5} - 27 \cdot 6^{2}}{3 | \frac{216}{3} - 9 |}$

Étape 10.4.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.2.2.1

Élevez $6$ à la puissance $5$ .

$f' (6) = \frac{7776 - 27 \cdot 6^{2}}{3 | \frac{216}{3} - 9 |}$

Étape 10.4.2.2.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f' (6) = \frac{7776 - 27 \cdot 36}{3 | \frac{216}{3} - 9 |}$

Étape 10.4.2.2.3

Multipliez $- 27$ par $36$ .

$f' (6) = \frac{7776 - 972}{3 | \frac{216}{3} - 9 |}$

Étape 10.4.2.2.4

Soustrayez $972$ de $7776$ .

$f' (6) = \frac{6804}{3 | \frac{216}{3} - 9 |}$

Étape 10.4.2.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.2.3.1

Pour écrire $- 9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (6) = \frac{6804}{3 | \frac{216}{3} - 9 \cdot \frac{3}{3} |}$

Étape 10.4.2.3.2

Associez $- 9$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (6) = \frac{6804}{3 | \frac{216}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} |}$

Étape 10.4.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (6) = \frac{6804}{3 | \frac{216 - 9 \cdot 3}{3} |}$

Étape 10.4.2.3.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.2.3.4.1

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$f' (6) = \frac{6804}{3 | \frac{216 - 27}{3} |}$

Étape 10.4.2.3.4.2

Soustrayez $27$ de $216$ .

$f' (6) = \frac{6804}{3 | \frac{189}{3} |}$

Étape 10.4.2.3.5

Divisez $189$ par $3$ .

$f' (6) = \frac{6804}{3 | 63 |}$

Étape 10.4.2.3.6

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $63$ est $63$ .

$f' (6) = \frac{6804}{3 \cdot 63}$

Étape 10.4.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.2.4.1

Multipliez $3$ par $63$ .

$f' (6) = \frac{6804}{189}$

Étape 10.4.2.4.2

Divisez $6804$ par $189$ .

$f' (6) = 36$

Étape 10.4.2.5

La réponse finale est $36$ .

$36$

Étape 10.5

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 3$ , $x = 3$ est un minimum local.

$x = 3$ est un minimum local

Étape 11