Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{49 x^{2} + 36}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 49 x^{2} + 36$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [49 x^{2} + 36] - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $49 x^{2} + 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.2

Comme $49$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $49 x^{2}$ par rapport à $x$ est $49 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (49 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x (49 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.4

Multipliez $2$ par $49$ .

$\frac{x (98 x + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.5

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (98 x + 0) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.6

Additionnez $98 x$ et $0$ .

$\frac{x (98 x) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{98 (x^{1} x) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{98 (x^{1} x^{1}) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{98 x^{1 + 1} - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36)}{x^{2}}$

Étape 1.9

Simplifiez

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Étape 1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2}) - 1 \cdot 36}{x^{2}}$

Étape 1.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.2.1.1

Multipliez $49$ par $- 1$ .

$\frac{98 x^{2} - 49 x^{2} - 1 \cdot 36}{x^{2}}$

Étape 1.9.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$\frac{98 x^{2} - 49 x^{2} - 36}{x^{2}}$

Étape 1.9.2.2

Soustrayez $49 x^{2}$ de $98 x^{2}$ .

$\frac{49 x^{2} - 36}{x^{2}}$

Étape 1.9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.9.3.1

Réécrivez $49 x^{2}$ comme ${(7 x)}^{2}$ .

$\frac{{(7 x)}^{2} - 36}{x^{2}}$

Étape 1.9.3.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{{(7 x)}^{2} - 6^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.9.3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 7 x$ et $b = 6$ .

$\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((7 x + 6) (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((7 x + 6) (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((7 x + 6) (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 7 x + 6$ et $g (x) = 7 x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) \frac{d}{d x} (7 x - 6) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (- 6)) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.4

Multipliez $7$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (7 + \frac{d}{d x} (- 6)) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.5

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) (7 + 0) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.6.1

Additionnez $7$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((7 x + 6) \cdot 7 + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.6.2

Déplacez $7$ à gauche de $7 x + 6$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 \cdot (7 x + 6) + (7 x - 6) \frac{d}{d x} (7 x + 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (6))) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.8

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6))) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6))) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.10

Multipliez $7$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (7 + \frac{d}{d x} (6))) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.11

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) (7 + 0)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.12.1

Additionnez $7$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + (7 x - 6) \cdot 7) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.12.2

Déplacez $7$ à gauche de $7 x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 \cdot (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - (7 x + 6) (7 x - 6) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 2.4.14

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.4.14.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6) x}{x^{4}}$

Étape 2.4.14.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6) x$ .

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Étape 2.4.14.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6))) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6) x}{x^{4}}$

Étape 2.4.14.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 (7 x + 6) (7 x - 6) x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6))) + x (- 2 (7 x + 6) (7 x - 6))}{x^{4}}$

Étape 2.4.14.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6))) + x (- 2 (7 x + 6) (7 x - 6))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6))}{x^{4}}$

Étape 2.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{x (x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x + 6) + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x) + 7 \cdot 6 + 7 (7 x - 6)) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x) + 7 \cdot 6 + 7 (7 x) + 7 \cdot - 6) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + x (7 \cdot 6) + x (7 (7 x)) + x (7 \cdot - 6) - 2 (7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Étape 2.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + x (7 \cdot 6) + x (7 (7 x)) + x (7 \cdot - 6) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Étape 2.6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.5.1

Associez les termes opposés dans $x (7 (7 x)) + x (7 \cdot 6) + x (7 (7 x)) + x (7 \cdot - 6) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)$ .

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Étape 2.6.5.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x (7 \cdot 6)$ et $x (7 \cdot - 6)$ .

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + 6 \cdot (7 x) + x (7 (7 x)) - 6 \cdot (7 x) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.1.2

Soustrayez $6 \cdot 7 x$ de $6 \cdot 7 x$ .

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + x (7 (7 x)) + 0 + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.1.3

Additionnez $x (7 (7 x)) + x (7 (7 x))$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (7 (7 x)) + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.5.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{7 \cdot (7 x \cdot x) + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.5.2.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{7 \cdot (7 (x \cdot x)) + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{7 \cdot (7 x^{2}) + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2.3

Multipliez $7$ par $7$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + x (7 (7 x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 7 \cdot (7 x \cdot x) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.5.2.5.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 7 \cdot (7 (x \cdot x)) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 7 \cdot (7 x^{2}) + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2.6

Multipliez $7$ par $7$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} + (- 2 (7 x) - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.5.2.7.1

Multipliez $7$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} + (- 14 x - 2 \cdot 6) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2.7.2

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} + (- 14 x - 12) (7 x - 6)}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2.8

Développez $(- 14 x - 12) (7 x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.6.5.2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 x (7 x - 6) - 12 (7 x - 6)}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 x (7 x) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x - 6)}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 x (7 x) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.6.5.2.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.5.2.9.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 \cdot (7 x \cdot x) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2.9.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.5.2.9.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 \cdot (7 (x \cdot x)) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2.9.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 14 \cdot (7 x^{2}) - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2.9.1.3

Multipliez $- 14$ par $7$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} - 14 x \cdot - 6 - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2.9.1.4

Multipliez $- 6$ par $- 14$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 84 x - 12 (7 x) - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2.9.1.5

Multipliez $7$ par $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 84 x - 84 x - 12 \cdot - 6}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2.9.1.6

Multipliez $- 12$ par $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 84 x - 84 x + 72}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2.9.2

Soustrayez $84 x$ de $84 x$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 0 + 72}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.2.9.3

Additionnez $- 98 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{49 x^{2} + 49 x^{2} - 98 x^{2} + 72}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.3

Additionnez $49 x^{2}$ et $49 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{98 x^{2} - 98 x^{2} + 72}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.4

Soustrayez $98 x^{2}$ de $98 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 72}{x^{3}}$

Étape 2.6.5.5

Additionnez $0$ et $72$ .

$f'' (x) = \frac{72}{x^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [49 x^{2} + 36] - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $49 x^{2} + 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.2.2

Comme $49$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $49 x^{2}$ par rapport à $x$ est $49 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (49 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x (49 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $2$ par $49$ .

$\frac{x (98 x + \frac{d}{d x} [36]) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.2.5

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (98 x + 0) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.2.6

Additionnez $98 x$ et $0$ .

$\frac{x (98 x) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{98 (x^{1} x) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{98 (x^{1} x^{1}) - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{98 x^{1 + 1} - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 4.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2} + 36)}{x^{2}}$

Étape 4.1.9

Simplifiez

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Étape 4.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{98 x^{2} - (49 x^{2}) - 1 \cdot 36}{x^{2}}$

Étape 4.1.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.9.2.1.1

Multipliez $49$ par $- 1$ .

$\frac{98 x^{2} - 49 x^{2} - 1 \cdot 36}{x^{2}}$

Étape 4.1.9.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$\frac{98 x^{2} - 49 x^{2} - 36}{x^{2}}$

Étape 4.1.9.2.2

Soustrayez $49 x^{2}$ de $98 x^{2}$ .

$\frac{49 x^{2} - 36}{x^{2}}$

Étape 4.1.9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.9.3.1

Réécrivez $49 x^{2}$ comme ${(7 x)}^{2}$ .

$\frac{{(7 x)}^{2} - 36}{x^{2}}$

Étape 4.1.9.3.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{{(7 x)}^{2} - 6^{2}}{x^{2}}$

Étape 4.1.9.3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 7 x$ et $b = 6$ .

$f' (x) = \frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$ .

$\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(7 x + 6) (7 x - 6) = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$7 x + 6 = 0$

$7 x - 6 = 0$

Étape 5.3.2

Définissez $7 x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Définissez $7 x + 6$ égal à $0$ .

$7 x + 6 = 0$

Étape 5.3.2.2

Résolvez $7 x + 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$7 x = - 6$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez chaque terme dans $7 x = - 6$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x = - 6$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 6}{7}$

Étape 5.3.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 6}{7}$

Étape 5.3.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 6}{7}$

Étape 5.3.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{6}{7}$

Étape 5.3.3

Définissez $7 x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.3.1

Définissez $7 x - 6$ égal à $0$ .

$7 x - 6 = 0$

Étape 5.3.3.2

Résolvez $7 x - 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$7 x = 6$

Étape 5.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $7 x = 6$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x = 6$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{6}{7}$

Étape 5.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} = \frac{6}{7}$

Étape 5.3.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{6}{7}$

Étape 5.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(7 x + 6) (7 x - 6) = 0$ vraie.

$x = - \frac{6}{7}, \frac{6}{7}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(7 x + 6) (7 x - 6)}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{6}{7}, \frac{6}{7}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{6}{7}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{72}{{(- \frac{6}{7})}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{6}{7}$ .

$\frac{72}{{(- 1)}^{3} {(\frac{6}{7})}^{3}}$

Étape 9.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{72}{- {(\frac{6}{7})}^{3}}$

Étape 9.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{6}{7}$ .

$\frac{72}{- \frac{6^{3}}{7^{3}}}$

Étape 9.1.4

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$\frac{72}{- \frac{216}{7^{3}}}$

Étape 9.1.5

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$\frac{72}{- \frac{216}{343}}$

Étape 9.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$72 (- \frac{343}{216})$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun de $72$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{343}{216}$ dans le numérateur.

$72 (\frac{- 343}{216})$

Étape 9.3.2

Factorisez $72$ à partir de $216$ .

$72 \frac{- 343}{72 (3)}$

Étape 9.3.3

Annulez le facteur commun.

$72 \frac{- 343}{72 \cdot 3}$

Étape 9.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 343}{3}$

Étape 9.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{343}{3}$

Étape 10

$x = - \frac{6}{7}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{6}{7}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{6}{7}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{6}{7}$ dans l’expression.

$f (- \frac{6}{7}) = \frac{49 {(- \frac{6}{7})}^{2} + 36}{- \frac{6}{7}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{6}{7}) = (49 {(- \frac{6}{7})}^{2} + 36) (- \frac{7}{6})$

Étape 11.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 11.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{6}{7}$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 ({(- 1)}^{2} {(\frac{6}{7})}^{2}) + 36) (- \frac{7}{6})$

Étape 11.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{6}{7}$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 ({(- 1)}^{2} (\frac{6^{2}}{7^{2}})) + 36) (- \frac{7}{6})$

Étape 11.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (1 (\frac{6^{2}}{7^{2}})) + 36) (- \frac{7}{6})$

Étape 11.2.2.3

Multipliez $\frac{6^{2}}{7^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (\frac{6^{2}}{7^{2}}) + 36) (- \frac{7}{6})$

Étape 11.2.2.4

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{7^{2}}) + 36) (- \frac{7}{6})$

Étape 11.2.2.5

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{49}) + 36) (- \frac{7}{6})$

Étape 11.2.2.6

Annulez le facteur commun de $49$ .

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Étape 11.2.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{49}) + 36) (- \frac{7}{6})$

Étape 11.2.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{6}{7}) = (36 + 36) (- \frac{7}{6})$

Étape 11.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.1

Additionnez $36$ et $36$ .

$f (- \frac{6}{7}) = 72 (- \frac{7}{6})$

Étape 11.2.3.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7}{6}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{6}{7}) = 72 (\frac{- 7}{6})$

Étape 11.2.3.2.2

Factorisez $6$ à partir de $72$ .

$f (- \frac{6}{7}) = 6 (12) (\frac{- 7}{6})$

Étape 11.2.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{6}{7}) = 6 \cdot (12 (\frac{- 7}{6}))$

Étape 11.2.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{6}{7}) = 12 \cdot - 7$

Étape 11.2.3.3

Multipliez $12$ par $- 7$ .

$f (- \frac{6}{7}) = - 84$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $- 84$ .

$y = - 84$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{6}{7}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{72}{{(\frac{6}{7})}^{3}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{6}{7}$ .

$\frac{72}{\frac{6^{3}}{7^{3}}}$

Étape 13.1.2

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$\frac{72}{\frac{216}{7^{3}}}$

Étape 13.1.3

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$\frac{72}{\frac{216}{343}}$

Étape 13.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$72 (\frac{343}{216})$

Étape 13.3

Annulez le facteur commun de $72$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.1

Factorisez $72$ à partir de $216$ .

$72 \frac{343}{72 (3)}$

Étape 13.3.2

Annulez le facteur commun.

$72 \frac{343}{72 \cdot 3}$

Étape 13.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{343}{3}$

Étape 14

$x = \frac{6}{7}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{6}{7}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{6}{7}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{6}{7}$ dans l’expression.

$f (\frac{6}{7}) = \frac{49 {(\frac{6}{7})}^{2} + 36}{\frac{6}{7}}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{6}{7}) = (49 {(\frac{6}{7})}^{2} + 36) (\frac{7}{6})$

Étape 15.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{6}{7}$ .

$f (\frac{6}{7}) = (49 (\frac{6^{2}}{7^{2}}) + 36) (\frac{7}{6})$

Étape 15.2.2.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{7^{2}}) + 36) (\frac{7}{6})$

Étape 15.2.2.3

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{49}) + 36) (\frac{7}{6})$

Étape 15.2.2.4

Annulez le facteur commun de $49$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{6}{7}) = (49 (\frac{36}{49}) + 36) (\frac{7}{6})$

Étape 15.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{6}{7}) = (36 + 36) (\frac{7}{6})$

Étape 15.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.3.1

Additionnez $36$ et $36$ .

$f (\frac{6}{7}) = 72 (\frac{7}{6})$

Étape 15.2.3.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.3.2.1

Factorisez $6$ à partir de $72$ .

$f (\frac{6}{7}) = 6 (12) (\frac{7}{6})$

Étape 15.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{6}{7}) = 6 \cdot (12 (\frac{7}{6}))$

Étape 15.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{6}{7}) = 12 \cdot 7$

Étape 15.2.3.3

Multipliez $12$ par $7$ .

$f (\frac{6}{7}) = 84$

Étape 15.2.4

La réponse finale est $84$ .

$y = 84$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{49 x^{2} + 36}{x}$ .

$(- \frac{6}{7}, - 84)$ est un maximum local

$(\frac{6}{7}, 84)$ est un minimum local

Étape 17