Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$

Étape 1

Écrivez $(x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ comme une fonction.

$f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} - 11 x + 32$ et $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 11 x + 32]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 11 x + 32]$

Étape 2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 11 x + 32$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [32])$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [32])$

Étape 2.1.3.3

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11 x$ par rapport à $x$ est $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [32])$

Étape 2.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [32])$

Étape 2.1.3.5

Multipliez $- 11$ par $1$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11 + \frac{d}{d x} [32])$

Étape 2.1.3.6

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11 + 0)$

Étape 2.1.3.7

Additionnez $2 x - 11$ et $0$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11)$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} + 32 e^{x} + e^{x} (2 x - 11)$

Étape 2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} + 32 e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 11$

Étape 2.1.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.1.4.3.1

Déplacez $- 11$ à gauche de $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} + 32 e^{x} + e^{x} (2 x) - 11 \cdot e^{x}$

Étape 2.1.4.3.2

Additionnez $- 11 x e^{x}$ et $e^{x} (2 x)$ .

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Étape 2.1.4.3.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} + 2 x e^{x} + 32 e^{x} - 11 e^{x}$

Étape 2.1.4.3.2.2

Additionnez $- 11 x e^{x}$ et $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} + 32 e^{x} - 11 e^{x}$

Étape 2.1.4.3.3

Soustrayez $11 e^{x}$ de $32 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} + 21 e^{x}$

Étape 2.1.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{2} - 9 e^{x} x + 21 e^{x}$

Étape 2.1.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2} - 9 e^{x} x + 21 e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} + 21 e^{x}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} + 21 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Étape 2.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Étape 2.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Étape 2.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Étape 2.2.3.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Étape 2.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [21 e^{x}]$ .

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Étape 2.2.4.1

Comme $21$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $21 e^{x}$ par rapport à $x$ est $21 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x}) + 21 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x}) + 21 e^{x}$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x}) - 9 e^{x} + 21 e^{x}$

Étape 2.2.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.2.5.2.1

Soustrayez $9 x e^{x}$ de $e^{x} (2 x)$ .

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Étape 2.2.5.2.1.1

Déplacez $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 9 x e^{x} - 9 e^{x} + 21 e^{x}$

Étape 2.2.5.2.1.2

Soustrayez $9 x e^{x}$ de $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} - 9 e^{x} + 21 e^{x}$

Étape 2.2.5.2.2

Additionnez $- 9 e^{x}$ et $21 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$

Étape 2.2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{2} - 7 e^{x} x + 12 e^{x}$

Étape 2.2.5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2} - 7 e^{x} x + 12 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x} = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} - 7 x e^{x} + 12 e^{x} = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- 7 x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (- 7 x) + 12 e^{x} = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $12 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (- 7 x) + e^{x} \cdot 12 = 0$

Étape 3.2.1.4

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x^{2} + e^{x} (- 7 x)$ .

$e^{x} (x^{2} - 7 x) + e^{x} \cdot 12 = 0$

Étape 3.2.1.5

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (x^{2} - 7 x) + e^{x} \cdot 12$ .

$e^{x} (x^{2} - 7 x + 12) = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez.

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 7 x + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 4, - 3$

Étape 3.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$e^{x} ((x - 4) (x - 3)) = 0$

Étape 3.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$e^{x} (x - 4) (x - 3) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 3.4

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 3.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 3.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 3.6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (x - 4) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 4, 3$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $4$ dans $f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = ({(4)}^{2} - 11 \cdot 4 + 32) \cdot e^{4}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = (16 - 11 \cdot 4 + 32) \cdot e^{4}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 11$ par $4$ .

$f (4) = (16 - 44 + 32) \cdot e^{4}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $44$ de $16$ .

$f (4) = (- 28 + 32) \cdot e^{4}$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $- 28$ et $32$ .

$f (4) = 4 e^{4}$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $4 e^{4}$ .

$4 e^{4}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $4$ dans $f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ est $(4, 4 e^{4})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(4, 4 e^{4})$

Étape 4.3

Remplacez $3$ dans $f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = ({(3)}^{2} - 11 \cdot 3 + 32) \cdot e^{3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = (9 - 11 \cdot 3 + 32) \cdot e^{3}$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $- 11$ par $3$ .

$f (3) = (9 - 33 + 32) \cdot e^{3}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.3.2.2.1

Soustrayez $33$ de $9$ .

$f (3) = (- 24 + 32) \cdot e^{3}$

Étape 4.3.2.2.2

Additionnez $- 24$ et $32$ .

$f (3) = 8 e^{3}$

Étape 4.3.2.3

La réponse finale est $8 e^{3}$ .

$8 e^{3}$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $3$ dans $f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ est $(3, 8 e^{3})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(3, 8 e^{3})$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(4, 4 e^{4}), (3, 8 e^{3})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 3) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 3)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2.9$ dans l’expression.

$f'' (2.9) = {(2.9)}^{2} e^{2.9} - 7 \cdot 2.9 \cdot e^{2.9} + 12 e^{2.9}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $2.9$ à la puissance $2$ .

$f'' (2.9) = 8.41 e^{2.9} - 7 \cdot 2.9 \cdot e^{2.9} + 12 e^{2.9}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $8.41$ par $e^{2.9}$ .

$f'' (2.9) = 152.84456255 - 7 \cdot 2.9 \cdot e^{2.9} + 12 e^{2.9}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 7$ par $2.9$ .

$f'' (2.9) = 152.84456255 - 20.3 \cdot e^{2.9} + 12 e^{2.9}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 20.3$ par $e^{2.9}$ .

$f'' (2.9) = 152.84456255 - 368.93515099 + 12 e^{2.9}$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $368.93515099$ de $152.84456255$ .

$f'' (2.9) = - 216.09058844 + 12 e^{2.9}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 216.09058844$ et $12 e^{2.9}$ .

$f'' (2.9) = 1.99915599$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $1.99915599$ .

$1.99915599$

Étape 6.3

Sur $2.9$ , la dérivée seconde est $1.99915599$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, 3)$ .

Augmente sur $(- \infty, 3)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(3, 4)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7}{2}$ dans l’expression.

$f'' (\frac{7}{2}) = {(\frac{7}{2})}^{2} e^{\frac{7}{2}} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{2}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{7^{2}}{2^{2}} \cdot e^{\frac{7}{2}} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49}{2^{2}} \cdot e^{\frac{7}{2}} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49}{4} \cdot e^{\frac{7}{2}} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Étape 7.2.1.4

Associez $\frac{49}{4}$ et $e^{\frac{7}{2}}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $- 7 (\frac{7}{2})$ .

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Étape 7.2.1.5.1

Associez $- 7$ et $\frac{7}{2}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- 7 \cdot 7}{2} \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Étape 7.2.1.5.2

Multipliez $- 7$ par $7$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- 49}{2} \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Étape 7.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49}{2} \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Étape 7.2.1.7

Associez $e^{\frac{7}{2}}$ et $\frac{49}{2}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{e^{\frac{7}{2}} \cdot 49}{2} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Étape 7.2.1.8

Déplacez $49$ à gauche de $e^{\frac{7}{2}}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{2} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Étape 7.2.2

Pour écrire $- \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{2} \cdot \frac{2}{2} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Étape 7.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $\frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49 e^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{2 \cdot 2} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49 e^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Étape 7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}} - 49 e^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Étape 7.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.5.1.1

Multipliez $2$ par $- 49$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}} - 98 e^{\frac{7}{2}}}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Étape 7.2.5.1.2

Soustrayez $98 e^{\frac{7}{2}}$ de $49 e^{\frac{7}{2}}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Étape 7.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (\frac{7}{2}) = - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Étape 7.2.6

Pour écrire $12 e^{\frac{7}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 7.2.7

Associez les fractions.

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Étape 7.2.7.1

Associez $12 e^{\frac{7}{2}}$ et $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{12 e^{\frac{7}{2}} \cdot 4}{4}$

Étape 7.2.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}} \cdot 4}{4}$

Étape 7.2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.8.1

Multipliez $4$ par $12$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 e^{\frac{7}{2}} + 48 e^{\frac{7}{2}}}{4}$

Étape 7.2.8.2

Additionnez $- 49 e^{\frac{7}{2}}$ et $48 e^{\frac{7}{2}}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{- e^{\frac{7}{2}}}{4}$

Étape 7.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (\frac{7}{2}) = - \frac{e^{\frac{7}{2}}}{4}$

Étape 7.2.10

La réponse finale est $- \frac{e^{\frac{7}{2}}}{4}$ .

$- \frac{e^{\frac{7}{2}}}{4}$

Étape 7.3

Sur $\frac{7}{2}$ , la dérivée seconde est $- 8.27886298$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(3, 4)$

Diminue sur $(3, 4)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $4.1$ dans l’expression.

$f'' (4.1) = {(4.1)}^{2} e^{4.1} - 7 \cdot 4.1 \cdot e^{4.1} + 12 e^{4.1}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $4.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (4.1) = 16.81 e^{4.1} - 7 \cdot 4.1 \cdot e^{4.1} + 12 e^{4.1}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $16.81$ par $e^{4.1}$ .

$f'' (4.1) = 1014.32023451 - 7 \cdot 4.1 \cdot e^{4.1} + 12 e^{4.1}$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 7$ par $4.1$ .

$f'' (4.1) = 1014.32023451 - 28.7 \cdot e^{4.1} + 12 e^{4.1}$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $- 28.7$ par $e^{4.1}$ .

$f'' (4.1) = 1014.32023451 - 1731.76625404 + 12 e^{4.1}$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 8.2.2.1

Soustrayez $1731.76625404$ de $1014.32023451$ .

$f'' (4.1) = - 717.44601953 + 12 e^{4.1}$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $- 717.44601953$ et $12 e^{4.1}$ .

$f'' (4.1) = 6.63743163$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $6.63743163$ .

$6.63743163$

Étape 8.3

Sur $4.1$ , la dérivée seconde est $6.63743163$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(4, \infty)$ .

Augmente sur $(4, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(3, 8 e^{3}), (4, 4 e^{4})$ .

$(3, 8 e^{3}), (4, 4 e^{4})$

Étape 10