Calcul infinitésimal Exemples

$3 {(x^{2} - 12)}^{2}$

Étape 1

Écrivez $3 {(x^{2} - 12)}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = 3 {(x^{2} - 12)}^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 {(x^{2} - 12)}^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 12)}^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 12)}^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 12$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 12$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 12])$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 12])$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 12$ .

$3 (2 (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 12])$

Étape 2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.3.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 ((x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 12])$

Étape 2.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$6 (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12])$

Étape 2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (x^{2} - 12) (2 x + \frac{d}{d x} [- 12])$

Étape 2.1.3.4

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 (x^{2} - 12) (2 x + 0)$

Étape 2.1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.3.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$6 (x^{2} - 12) (2 x)$

Étape 2.1.3.5.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$12 (x^{2} - 12) x$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(12 x^{2} + 12 \cdot - 12) x$

Étape 2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$12 x^{2} x + 12 \cdot - 12 x$

Étape 2.1.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.1.4.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$12 (x^{1} x^{2}) + 12 \cdot - 12 x$

Étape 2.1.4.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 x^{1 + 2} + 12 \cdot - 12 x$

Étape 2.1.4.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$12 x^{3} + 12 \cdot - 12 x$

Étape 2.1.4.3.4

Multipliez $12$ par $- 12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 144 x$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{3} - 144 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 144 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 144 x]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 144 x]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 144 x]$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $3$ par $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 144 x]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 144 x]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $- 144$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 144 x$ par rapport à $x$ est $- 144 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 144 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$36 x^{2} - 144 \cdot 1$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $- 144$ par $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 144$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $36 x^{2} - 144$ .

$36 x^{2} - 144$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $36 x^{2} - 144 = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$36 x^{2} - 144 = 0$

Étape 3.2

Ajoutez $144$ aux deux côtés de l’équation.

$36 x^{2} = 144$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $36 x^{2} = 144$ par $36$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $36 x^{2} = 144$ par $36$ .

$\frac{36 x^{2}}{36} = \frac{144}{36}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $36$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{36 x^{2}}{36} = \frac{144}{36}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{144}{36}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Divisez $144$ par $36$ .

$x^{2} = 4$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 3.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $2$ dans $f (x) = 3 {(x^{2} - 12)}^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = 3 {({(2)}^{2} - 12)}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 3 {(4 - 12)}^{2}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $12$ de $4$ .

$f (2) = 3 {(- 8)}^{2}$

Étape 4.1.2.3

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 3 \cdot 64$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $3$ par $64$ .

$f (2) = 192$

Étape 4.1.2.5

La réponse finale est $192$ .

$192$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $2$ dans $f (x) = 3 {(x^{2} - 12)}^{2}$ est $(2, 192)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(2, 192)$

Étape 4.3

Remplacez $- 2$ dans $f (x) = 3 {(x^{2} - 12)}^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = 3 {({(- 2)}^{2} - 12)}^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = 3 {(4 - 12)}^{2}$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $12$ de $4$ .

$f (- 2) = 3 {(- 8)}^{2}$

Étape 4.3.2.3

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 64$

Étape 4.3.2.4

Multipliez $3$ par $64$ .

$f (- 2) = 192$

Étape 4.3.2.5

La réponse finale est $192$ .

$192$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $- 2$ dans $f (x) = 3 {(x^{2} - 12)}^{2}$ est $(- 2, 192)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 2, 192)$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(2, 192), (- 2, 192)$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.1$ dans l’expression.

$f'' (- 2.1) = 36 {(- 2.1)}^{2} - 144$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 2.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2.1) = 36 \cdot 4.41 - 144$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $36$ par $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 158.76 - 144$

Étape 6.2.2

Soustrayez $144$ de $158.76$ .

$f'' (- 2.1) = 14.76$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $14.76$ .

$14.76$

Étape 6.3

Sur $- 2.1$ , la dérivée seconde est $14.76$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 144$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 144$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $36$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 144$

Étape 7.2.2

Soustrayez $144$ de $0$ .

$f'' (0) = - 144$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 144$ .

$- 144$

Étape 7.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $- 144$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 2, 2)$

Diminue sur $(- 2, 2)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2.1$ dans l’expression.

$f'' (2.1) = 36 {(2.1)}^{2} - 144$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $2.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (2.1) = 36 \cdot 4.41 - 144$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $36$ par $4.41$ .

$f'' (2.1) = 158.76 - 144$

Étape 8.2.2

Soustrayez $144$ de $158.76$ .

$f'' (2.1) = 14.76$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $14.76$ .

$14.76$

Étape 8.3

Sur $2.1$ , la dérivée seconde est $14.76$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(2, \infty)$ .

Augmente sur $(2, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- 2, 192), (2, 192)$ .

$(- 2, 192), (2, 192)$

Étape 10