Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{(\ln (x))}{x}$

Étape 1

Écrivez $\frac{(\ln (x))}{x}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{(\ln (x))}{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1.3.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 2.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.2.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [- \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.2.4.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.4.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 2.2.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \frac{x \cdot x}{x^{1}} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.4.2.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 2.2.4.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.2.4.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Étape 2.2.4.4.2

Factorisez $x$ à partir de $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ .

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Étape 2.2.4.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Étape 2.2.4.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 (1 - \ln (x)) x$ .

$\frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Étape 2.2.4.4.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ .

$\frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Étape 2.2.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

Étape 2.2.6

Simplifiez

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Étape 2.2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Étape 2.2.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.6.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Étape 2.2.6.2.1.2

Multipliez $- 2 (- \ln (x))$ .

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Étape 2.2.6.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Étape 2.2.6.2.1.2.2

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Étape 2.2.6.2.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$\frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Étape 2.2.6.3

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (3) + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Étape 2.2.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (x^{2})$ .

$\frac{- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Étape 2.2.6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ .

$\frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Étape 2.2.6.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ .

$- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 - \ln (x^{2}) = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- \ln (x^{2}) = - 3$

Étape 3.3.2

Divisez chaque terme dans $- \ln (x^{2}) = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (x^{2}) = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{2})}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (x^{2})}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.3.2.2.2

Divisez $\ln (x^{2})$ par $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$\ln (x^{2}) = 3$

Étape 3.3.3

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{3}$

Étape 3.3.4

Réécrivez $\ln (x^{2}) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x^{2}$

Étape 3.3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} = e^{3}$ .

$x^{2} = e^{3}$

Étape 3.3.5.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{e^{3}}$

Étape 3.3.5.3

Simplifiez $\pm \sqrt{e^{3}}$ .

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Étape 3.3.5.3.1

Factorisez $e^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{e^{2} e}$

Étape 3.3.5.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm e \sqrt{e}$

Étape 3.3.5.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.5.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = e \sqrt{e}$

Étape 3.3.5.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - e \sqrt{e}$

Étape 3.3.5.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = e \sqrt{e}, - e \sqrt{e}$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $e \sqrt{e}$ dans $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $e \sqrt{e}$ dans l’expression.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $\frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$ par $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}} \cdot \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$

Étape 4.1.2.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $\frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$ par $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e \sqrt{e} \sqrt{e}}$

Étape 4.1.2.2.2

Déplacez $\sqrt{e}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

Étape 4.1.2.2.3

Élevez $\sqrt{e}$ à la puissance $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

Étape 4.1.2.2.4

Élevez $\sqrt{e}$ à la puissance $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

Étape 4.1.2.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {\sqrt{e}}^{1 + 1}}$

Étape 4.1.2.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {\sqrt{e}}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.7

Réécrivez ${\sqrt{e}}^{2}$ comme $e$ .

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Étape 4.1.2.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{e}$ comme $e^{\frac{1}{2}}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.1.2.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.1.2.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.1.2.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e}$

Étape 4.1.2.2.7.5

Simplifiez

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e}$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{1 + 1}}$

Étape 4.1.2.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$

Étape 4.1.2.4

La réponse finale est $\frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $e \sqrt{e}$ dans $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ est $(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

Étape 4.3

$- e \sqrt{e}$ n’est pas dans le domaine de $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ . Il n’y a pas de point d’inflexion sur $- e \sqrt{e}$ .

$- e \sqrt{e}$ is not in the domain

Étape 4.4

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, e \sqrt{e}) \cup (e \sqrt{e}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, e \sqrt{e})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $4.38168907$ dans l’expression.

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln ({(4.38168907)}^{2})}{{(4.38168907)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Élevez $4.38168907$ à la puissance $2$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln (19.1991991)}{{4.38168907}^{3}}$

Étape 6.2.2

Élevez $4.38168907$ à la puissance $3$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln (19.1991991)}{84.12492089}$

Étape 6.2.3

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \log_{2.71828182} (19.1991991)}{84.12492089}$

Étape 6.2.4

La base logarithmique $2.71828182$ de $19.1991991$ est approximativement $2.95486856$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - 1 \cdot 2.95486856}{84.12492089}$

Étape 6.2.5

Multipliez $- 1$ par $2.95486856$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - 2.95486856}{84.12492089}$

Étape 6.2.6

Soustrayez $2.95486856$ de $3$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{0.04513143}{84.12492089}$

Étape 6.2.7

Divisez $0.04513143$ par $84.12492089$ .

$f'' (4.38168907) = - 1 \cdot 0.00053648$

Étape 6.2.8

Multipliez $- 1$ par $0.00053648$ .

$f'' (4.38168907) = - 0.00053648$

Étape 6.2.9

La réponse finale est $- 0.00053648$ .

$- 0.00053648$

Étape 6.3

Sur $4.38168907$ , la dérivée seconde est $- 0.00053648$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, e \sqrt{e})$

Diminue sur $(- \infty, e \sqrt{e})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(e \sqrt{e}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $4.58168907$ dans l’expression.

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln ({(4.58168907)}^{2})}{{(4.58168907)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Élevez $4.58168907$ à la puissance $2$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln (20.99187473)}{{4.58168907}^{3}}$

Étape 7.2.2

Élevez $4.58168907$ à la puissance $3$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln (20.99187473)}{96.17824304}$

Étape 7.2.3

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \log_{2.71828182} (20.99187473)}{96.17824304}$

Étape 7.2.4

La base logarithmique $2.71828182$ de $20.99187473$ est approximativement $3.04413544$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - 1 \cdot 3.04413544}{96.17824304}$

Étape 7.2.5

Multipliez $- 1$ par $3.04413544$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - 3.04413544}{96.17824304}$

Étape 7.2.6

Soustrayez $3.04413544$ de $3$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{- 0.04413544}{96.17824304}$

Étape 7.2.7

Divisez $- 0.04413544$ par $96.17824304$ .

$f'' (4.58168907) = 0.00045889$

Étape 7.2.8

La réponse finale est $0.00045889$ .

$0.00045889$

Étape 7.3

Sur $4.58168907$ , la dérivée seconde est $0.00045889$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(e \sqrt{e}, \infty)$ .

Augmente sur $(e \sqrt{e}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$ .

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

Étape 9