Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x + 3}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x + 3}{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x + 3}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 3$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.1.2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.1.2.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - (x + 3) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 2.1.2.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1.2.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 (x + 3) x}{x^{4}}$

Étape 2.1.2.7.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 2 (x + 3) x$ .

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Étape 2.1.2.7.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 (x + 3) x}{x^{4}}$

Étape 2.1.2.7.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 (x + 3) x$ .

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x + 3))}{x^{4}}$

Étape 2.1.2.7.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (- 2 (x + 3))$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 3))}{x^{4}}$

Étape 2.1.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 3))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x - 2 (x + 3))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 2 (x + 3)}{x^{3}}$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 3}{x^{3}}$

Étape 2.1.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.4.2.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{x - 2 x - 6}{x^{3}}$

Étape 2.1.4.2.2

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x - 6}{x^{3}}$

Étape 2.1.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) - 6}{x^{3}}$

Étape 2.1.4.4

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$\frac{- (x) - 1 (6)}{x^{3}}$

Étape 2.1.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (6)$ .

$\frac{- (x + 6)}{x^{3}}$

Étape 2.1.4.6

Réécrivez $- (x + 6)$ comme $- 1 (x + 6)$ .

$\frac{- 1 (x + 6)}{x^{3}}$

Étape 2.1.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x + 6}{x^{3}}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{x + 6}{x^{3}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{x^{3}}] + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.2

$- \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3

Différenciez.

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Étape 2.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$- \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{x^{3} (1 + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{x^{3} (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.5.2

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$- \frac{x^{3} - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{x^{3} - (x + 6) (3 x^{2})}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.2.3.7.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{3} - 3 (x + 6) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.7.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} - 3 (x + 6) x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.7.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$- \frac{x^{2} x - 3 (x + 6) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.7.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 (x + 6) x^{2}$ .

$- \frac{x^{2} x + x^{2} (- 3 (x + 6))}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.7.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} (- 3 (x + 6))$ .

$- \frac{x^{2} (x - 3 (x + 6))}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$- \frac{x^{2} (x - 3 (x + 6))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{2} (x - 3 (x + 6))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \cdot 0$

Étape 2.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $\frac{x + 6}{x^{3}}$ par $0$ .

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}} + 0$

Étape 2.2.6.2

Additionnez $- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}}$ et $0$ .

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}}$

Étape 2.2.7

Simplifiez

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Étape 2.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x - 3 x - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Étape 2.2.7.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.7.2.1

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$- \frac{x - 3 x - 18}{x^{4}}$

Étape 2.2.7.2.2

Soustrayez $3 x$ de $x$ .

$- \frac{- 2 x - 18}{x^{4}}$

Étape 2.2.7.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x - 18$ .

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Étape 2.2.7.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$- \frac{2 (- x) - 18}{x^{4}}$

Étape 2.2.7.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$- \frac{2 (- x) + 2 (- 9)}{x^{4}}$

Étape 2.2.7.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (- 9)$ .

$- \frac{2 (- x - 9)}{x^{4}}$

Étape 2.2.7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- \frac{2 (- (x) - 9)}{x^{4}}$

Étape 2.2.7.5

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$- \frac{2 (- (x) - 1 (9))}{x^{4}}$

Étape 2.2.7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (9)$ .

$- \frac{2 (- (x + 9))}{x^{4}}$

Étape 2.2.7.7

Réécrivez $- (x + 9)$ comme $- 1 (x + 9)$ .

$- \frac{2 (- 1 (x + 9))}{x^{4}}$

Étape 2.2.7.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

Étape 2.2.7.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

Étape 2.2.7.10

Multipliez $\frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$ .

$\frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 (x + 9)}{x^{4}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2 (x + 9)}{x^{4}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (x + 9) = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 (x + 9) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (x + 9) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x + 9)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x + 9)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.3.1.2.1.2

Divisez $x + 9$ par $1$ .

$x + 9 = \frac{0}{2}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x + 9 = 0$

Étape 3.3.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 9$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $- 9$ dans $f (x) = \frac{x + 3}{x^{2}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 9$ dans l’expression.

$f (- 9) = \frac{(- 9) + 3}{{(- 9)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

Additionnez $- 9$ et $3$ .

$f (- 9) = \frac{- 6}{{(- 9)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$f (- 9) = \frac{- 6}{81}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $81$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$f (- 9) = \frac{3 (- 2)}{81}$

Étape 4.1.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$f (- 9) = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 27}$

Étape 4.1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 9) = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 27}$

Étape 4.1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 9) = \frac{- 2}{27}$

Étape 4.1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 9) = - \frac{2}{27}$

Étape 4.1.2.4

La réponse finale est $- \frac{2}{27}$ .

$- \frac{2}{27}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $- 9$ dans $f (x) = \frac{x + 3}{x^{2}}$ est $(- 9, - \frac{2}{27})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 9, - \frac{2}{27})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 9)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 9.1$ dans l’expression.

$f'' (- 9.1) = \frac{2 ((- 9.1) + 9)}{{(- 9.1)}^{4}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Additionnez $- 9.1$ et $9$ .

$f'' (- 9.1) = \frac{2 \cdot - 0.1}{{(- 9.1)}^{4}}$

Étape 6.2.2

Élevez $- 9.1$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 9.1) = \frac{2 \cdot - 0.1}{6857.4961}$

Étape 6.2.3

Multipliez $2$ par $- 0.1$ .

$f'' (- 9.1) = \frac{- 0.2}{6857.4961}$

Étape 6.2.4

Divisez $- 0.2$ par $6857.4961$ .

$f'' (- 9.1) = - 0.00002916$

Étape 6.2.5

La réponse finale est $- 0.00002916$ .

$- 0.00002916$

Étape 6.3

Sur $- 9.1$ , la dérivée seconde est $- 2.91651642 E - 5$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - 9)$

Diminue sur $(- \infty, - 9)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 9, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 8.9$ dans l’expression.

$f'' (- 8.9) = \frac{2 ((- 8.9) + 9)}{{(- 8.9)}^{4}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Additionnez $- 8.9$ et $9$ .

$f'' (- 8.9) = \frac{2 \cdot 0.1}{{(- 8.9)}^{4}}$

Étape 7.2.2

Élevez $- 8.9$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 8.9) = \frac{2 \cdot 0.1}{6274.2241}$

Étape 7.2.3

Multipliez $2$ par $0.1$ .

$f'' (- 8.9) = \frac{0.2}{6274.2241}$

Étape 7.2.4

Divisez $0.2$ par $6274.2241$ .

$f'' (- 8.9) = 0.00003187$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $0.00003187$ .

$0.00003187$

Étape 7.3

Sur $- 8.9$ , la dérivée seconde est $3.18764514 E - 5$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- 9, \infty)$ .

Augmente sur $(- 9, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(- 9, - \frac{2}{27})$ .

$(- 9, - \frac{2}{27})$

Étape 9