Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{5} x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.2.3

Associez $5$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.2.4

Associez $\frac{5}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.2.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.2.5.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $\frac{7}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7}{2} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.3.3

Associez $4$ et $\frac{7}{2}$ .

$x^{4} + \frac{4 \cdot 7}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.3.4

Multipliez $4$ par $7$ .

$x^{4} + \frac{28}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.3.5

Associez $\frac{28}{2}$ et $x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{28 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.3.6

Annulez le facteur commun à $28$ et $2$ .

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Étape 2.1.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $28 x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{4} + \frac{14 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.3.6.2.4

Divisez $14 x^{3}$ par $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}]$ .

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Étape 2.1.4.1

Comme $\frac{71}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{71}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.4.3

Associez $3$ et $\frac{71}{3}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 \cdot 71}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.4.4

Multipliez $3$ par $71$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.4.5

Associez $\frac{213}{3}$ et $x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.4.6

Annulez le facteur commun à $213$ et $3$ .

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Étape 2.1.4.6.1

Factorisez $3$ à partir de $213 x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.4.6.2.4

Divisez $71 x^{2}$ par $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [77 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.5.1

Comme $77$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $77 x^{2}$ par rapport à $x$ est $77 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.5.3

Multipliez $2$ par $77$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 2.1.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

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Étape 2.1.6.1

Comme $120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $120 x$ par rapport à $x$ est $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \cdot 1$

Étape 2.1.6.3

Multipliez $120$ par $1$ .

$f' (x) = x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [14 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x^{3}$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 14 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} + 14 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $3$ par $14$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [71 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $71$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $71 x^{2}$ par rapport à $x$ est $71 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 (2 x) + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $2$ par $71$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [154 x]$ .

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Étape 2.2.4.1

Comme $154$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $154 x$ par rapport à $x$ est $154 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.2.4.3

Multipliez $154$ par $1$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + \frac{d}{d x} [120]$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.5.1

Comme $120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $120$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + 0$

Étape 2.2.5.2

Additionnez $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ et $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$2 (2 x^{3}) + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $42 x^{2}$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 142 x + 154 = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $142 x$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (71 x) + 154 = 0$

Étape 3.2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $154$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (71 x) + 2 (77) = 0$

Étape 3.2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2})$ .

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (71 x) + 2 (77) = 0$

Étape 3.2.1.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (71 x)$ .

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x) + 2 (77) = 0$

Étape 3.2.1.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x) + 2 (77)$ .

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77) = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez.

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 3.2.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 3.2.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 77, \pm 38.5, \pm 7, \pm 3.5, \pm 11, \pm 5.5$

Étape 3.2.2.1.3

Remplacez $- 3.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 3.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 3.2.2.1.3.1

Remplacez $- 3.5$ dans le polynôme.

$2 {(- 3.5)}^{3} + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Étape 3.2.2.1.3.2

Élevez $- 3.5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 42.875 + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Étape 3.2.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 42.875$ .

$- 85.75 + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Étape 3.2.2.1.3.4

Élevez $- 3.5$ à la puissance $2$ .

$- 85.75 + 21 \cdot 12.25 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Étape 3.2.2.1.3.5

Multipliez $21$ par $12.25$ .

$- 85.75 + 257.25 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Étape 3.2.2.1.3.6

Additionnez $- 85.75$ et $257.25$ .

$171.5 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Étape 3.2.2.1.3.7

Multipliez $71$ par $- 3.5$ .

$171.5 - 248.5 + 77$

Étape 3.2.2.1.3.8

Soustrayez $248.5$ de $171.5$ .

$- 77 + 77$

Étape 3.2.2.1.3.9

Additionnez $- 77$ et $77$ .

$0$

Étape 3.2.2.1.4

Comme $- 3.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x + 7$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77}{2 x + 7}$

Étape 3.2.2.1.5

Divisez $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ par $2 x + 7$ .

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Étape 3.2.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$7$

$2 x^{3}$

$21 x^{2}$

$71 x$

$77$

Étape 3.2.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$

Étape 3.2.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			+	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Étape 3.2.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + 7 x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Étape 3.2.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$

Étape 3.2.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$

Étape 3.2.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $14 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$

Étape 3.2.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$49 x$

Étape 3.2.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $14 x^{2} + 49 x$

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$

Étape 3.2.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$

Étape 3.2.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$

Étape 3.2.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $22 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$

Étape 3.2.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							+	$22 x$	+	$77$

Étape 3.2.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $22 x + 77$

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							-	$22 x$	-	$77$

Étape 3.2.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							-	$22 x$	-	$77$
										$0$

Étape 3.2.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 7 x + 11$

Étape 3.2.2.1.6

Écrivez $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ comme un ensemble de facteurs.

$2 ((2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11)) = 0$

Étape 3.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 7 = 0$

$x^{2} + 7 x + 11 = 0$

Étape 3.4

Définissez $2 x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Définissez $2 x + 7$ égal à $0$ .

$2 x + 7 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $2 x + 7 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 7$

Étape 3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 7$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 7$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Étape 3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Étape 3.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 7}{2}$

Étape 3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{7}{2}$

Étape 3.5

Définissez $x^{2} + 7 x + 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Définissez $x^{2} + 7 x + 11$ égal à $0$ .

$x^{2} + 7 x + 11 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $x^{2} + 7 x + 11 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 7$ et $c = 11$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.3.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.3

Soustrayez $44$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.4.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

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Étape 3.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.1.3

Soustrayez $44$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.5.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.5.2.4.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.5.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

Étape 3.5.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{5})}{2}$

Étape 3.5.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.5.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

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Étape 3.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.1.3

Soustrayez $44$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.5.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.5.2.5.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.5.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{5})}{2}$

Étape 3.5.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (7) - (\sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{5})}{2}$

Étape 3.5.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11) = 0$ vraie.

$x = - \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $- \frac{7}{2}$ dans $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{7}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{1}{5} \cdot ({(- 1)}^{5} {(\frac{7}{2})}^{5}) + \frac{7}{2} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{1}{5} \cdot ({(- 1)}^{5} (\frac{7^{5}}{2^{5}})) + \frac{7}{2} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{7^{5}}{2^{5}}) + \frac{7}{2} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $7$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{16807}{2^{5}}) + \frac{7}{2} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{16807}{32}) + \frac{7}{2} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $\frac{1}{5} (- \frac{16807}{32})$ .

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Étape 4.1.2.1.5.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{16807}{32}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{5 \cdot 32} + \frac{7}{2} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.5.2

Multipliez $5$ par $32$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7}{2} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7}{2} \cdot ({(- 1)}^{4} {(\frac{7}{2})}^{4}) + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7}{2} \cdot ({(- 1)}^{4} (\frac{7^{4}}{2^{4}})) + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7}{2} \cdot (1 (\frac{7^{4}}{2^{4}})) + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.8

Multipliez $\frac{7^{4}}{2^{4}}$ par $1$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7}{2} \cdot \frac{7^{4}}{2^{4}} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.9

Associez.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7 \cdot 7^{4}}{2 \cdot 2^{4}} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.10

Multipliez $7$ par $7^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.10.1

Multipliez $7$ par $7^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.10.1.1

Élevez $7$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7 \cdot 7^{4}}{2 \cdot 2^{4}} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.10.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7^{1 + 4}}{2 \cdot 2^{4}} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.10.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7^{5}}{2 \cdot 2^{4}} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.11

Multipliez $2$ par $2^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.1.11.1

Multipliez $2$ par $2^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.11.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7^{5}}{2 \cdot 2^{4}} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.11.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7^{5}}{2^{1 + 4}} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.11.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7^{5}}{2^{5}} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.12

Élevez $7$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{2^{5}} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.13

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.14

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.14.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} + \frac{71}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}) + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.14.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} + \frac{71}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{7^{3}}{2^{3}})) + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.15

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} + \frac{71}{3} \cdot (- \frac{7^{3}}{2^{3}}) + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.16

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} + \frac{71}{3} \cdot (- \frac{343}{2^{3}}) + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.17

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} + \frac{71}{3} \cdot (- \frac{343}{8}) + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.18

Multipliez $\frac{71}{3} (- \frac{343}{8})$ .

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Étape 4.1.2.1.18.1

Multipliez $\frac{71}{3}$ par $\frac{343}{8}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{71 \cdot 343}{3 \cdot 8} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.18.2

Multipliez $71$ par $343$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{3 \cdot 8} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.18.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.19

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.19.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + 77 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.19.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + 77 ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.20

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + 77 (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.21

Multipliez $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + 77 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.22

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + 77 (\frac{49}{2^{2}}) + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.23

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + 77 (\frac{49}{4}) + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.24

Multipliez $77 (\frac{49}{4})$ .

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Étape 4.1.2.1.24.1

Associez $77$ et $\frac{49}{4}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + \frac{77 \cdot 49}{4} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.24.2

Multipliez $77$ par $49$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + \frac{3773}{4} + 120 (- \frac{7}{2})$

Étape 4.1.2.1.25

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.25.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + \frac{3773}{4} + 120 (\frac{- 7}{2})$

Étape 4.1.2.1.25.2

Factorisez $2$ à partir de $120$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + \frac{3773}{4} + 2 (60) (\frac{- 7}{2})$

Étape 4.1.2.1.25.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + \frac{3773}{4} + 2 \cdot (60 (\frac{- 7}{2}))$

Étape 4.1.2.1.25.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + \frac{3773}{4} + 60 \cdot - 7$

Étape 4.1.2.1.26

Multipliez $60$ par $- 7$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + \frac{3773}{4} - 420$

Étape 4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $\frac{16807}{160}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - (\frac{16807}{160} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + \frac{3773}{4} - 420$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{16807}{160}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{160 \cdot 3} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + \frac{3773}{4} - 420$

Étape 4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{16807}{32}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{160 \cdot 3} + \frac{16807}{32} \cdot \frac{15}{15} - \frac{24353}{24} + \frac{3773}{4} - 420$

Étape 4.1.2.2.4

Multipliez $\frac{16807}{32}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{160 \cdot 3} + \frac{16807 \cdot 15}{32 \cdot 15} - \frac{24353}{24} + \frac{3773}{4} - 420$

Étape 4.1.2.2.5

Multipliez $\frac{24353}{24}$ par $\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{160 \cdot 3} + \frac{16807 \cdot 15}{32 \cdot 15} - (\frac{24353}{24} \cdot \frac{20}{20}) + \frac{3773}{4} - 420$

Étape 4.1.2.2.6

Multipliez $\frac{24353}{24}$ par $\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{160 \cdot 3} + \frac{16807 \cdot 15}{32 \cdot 15} - \frac{24353 \cdot 20}{24 \cdot 20} + \frac{3773}{4} - 420$

Étape 4.1.2.2.7

Multipliez $\frac{3773}{4}$ par $\frac{120}{120}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{160 \cdot 3} + \frac{16807 \cdot 15}{32 \cdot 15} - \frac{24353 \cdot 20}{24 \cdot 20} + \frac{3773}{4} \cdot \frac{120}{120} - 420$

Étape 4.1.2.2.8

Multipliez $\frac{3773}{4}$ par $\frac{120}{120}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{160 \cdot 3} + \frac{16807 \cdot 15}{32 \cdot 15} - \frac{24353 \cdot 20}{24 \cdot 20} + \frac{3773 \cdot 120}{4 \cdot 120} - 420$

Étape 4.1.2.2.9

Écrivez $- 420$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{160 \cdot 3} + \frac{16807 \cdot 15}{32 \cdot 15} - \frac{24353 \cdot 20}{24 \cdot 20} + \frac{3773 \cdot 120}{4 \cdot 120} + \frac{- 420}{1}$

Étape 4.1.2.2.10

Multipliez $\frac{- 420}{1}$ par $\frac{480}{480}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{160 \cdot 3} + \frac{16807 \cdot 15}{32 \cdot 15} - \frac{24353 \cdot 20}{24 \cdot 20} + \frac{3773 \cdot 120}{4 \cdot 120} + \frac{- 420}{1} \cdot \frac{480}{480}$

Étape 4.1.2.2.11

Multipliez $\frac{- 420}{1}$ par $\frac{480}{480}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{160 \cdot 3} + \frac{16807 \cdot 15}{32 \cdot 15} - \frac{24353 \cdot 20}{24 \cdot 20} + \frac{3773 \cdot 120}{4 \cdot 120} + \frac{- 420 \cdot 480}{480}$

Étape 4.1.2.2.12

Réorganisez les facteurs de $160 \cdot 3$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{3 \cdot 160} + \frac{16807 \cdot 15}{32 \cdot 15} - \frac{24353 \cdot 20}{24 \cdot 20} + \frac{3773 \cdot 120}{4 \cdot 120} + \frac{- 420 \cdot 480}{480}$

Étape 4.1.2.2.13

Multipliez $3$ par $160$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{480} + \frac{16807 \cdot 15}{32 \cdot 15} - \frac{24353 \cdot 20}{24 \cdot 20} + \frac{3773 \cdot 120}{4 \cdot 120} + \frac{- 420 \cdot 480}{480}$

Étape 4.1.2.2.14

Réorganisez les facteurs de $32 \cdot 15$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{480} + \frac{16807 \cdot 15}{15 \cdot 32} - \frac{24353 \cdot 20}{24 \cdot 20} + \frac{3773 \cdot 120}{4 \cdot 120} + \frac{- 420 \cdot 480}{480}$

Étape 4.1.2.2.15

Multipliez $15$ par $32$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{480} + \frac{16807 \cdot 15}{480} - \frac{24353 \cdot 20}{24 \cdot 20} + \frac{3773 \cdot 120}{4 \cdot 120} + \frac{- 420 \cdot 480}{480}$

Étape 4.1.2.2.16

Réorganisez les facteurs de $24 \cdot 20$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{480} + \frac{16807 \cdot 15}{480} - \frac{24353 \cdot 20}{20 \cdot 24} + \frac{3773 \cdot 120}{4 \cdot 120} + \frac{- 420 \cdot 480}{480}$

Étape 4.1.2.2.17

Multipliez $20$ par $24$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{480} + \frac{16807 \cdot 15}{480} - \frac{24353 \cdot 20}{480} + \frac{3773 \cdot 120}{4 \cdot 120} + \frac{- 420 \cdot 480}{480}$

Étape 4.1.2.2.18

Multipliez $4$ par $120$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{480} + \frac{16807 \cdot 15}{480} - \frac{24353 \cdot 20}{480} + \frac{3773 \cdot 120}{480} + \frac{- 420 \cdot 480}{480}$

Étape 4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{- 16807 \cdot 3 + 16807 \cdot 15 - 24353 \cdot 20 + 3773 \cdot 120 - 420 \cdot 480}{480}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $- 16807$ par $3$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{- 50421 + 16807 \cdot 15 - 24353 \cdot 20 + 3773 \cdot 120 - 420 \cdot 480}{480}$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $16807$ par $15$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{- 50421 + 252105 - 24353 \cdot 20 + 3773 \cdot 120 - 420 \cdot 480}{480}$

Étape 4.1.2.4.3

Multipliez $- 24353$ par $20$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{- 50421 + 252105 - 487060 + 3773 \cdot 120 - 420 \cdot 480}{480}$

Étape 4.1.2.4.4

Multipliez $3773$ par $120$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{- 50421 + 252105 - 487060 + 452760 - 420 \cdot 480}{480}$

Étape 4.1.2.4.5

Multipliez $- 420$ par $480$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{- 50421 + 252105 - 487060 + 452760 - 201600}{480}$

Étape 4.1.2.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.5.1

Additionnez $- 50421$ et $252105$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{201684 - 487060 + 452760 - 201600}{480}$

Étape 4.1.2.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.5.2.1

Soustrayez $487060$ de $201684$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{- 285376 + 452760 - 201600}{480}$

Étape 4.1.2.5.2.2

Additionnez $- 285376$ et $452760$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{167384 - 201600}{480}$

Étape 4.1.2.5.2.3

Soustrayez $201600$ de $167384$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{- 34216}{480}$

Étape 4.1.2.5.3

Annulez le facteur commun à $- 34216$ et $480$ .

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Étape 4.1.2.5.3.1

Factorisez $8$ à partir de $- 34216$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{8 (- 4277)}{480}$

Étape 4.1.2.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.5.3.2.1

Factorisez $8$ à partir de $480$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{8 \cdot - 4277}{8 \cdot 60}$

Étape 4.1.2.5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{8 \cdot - 4277}{8 \cdot 60}$

Étape 4.1.2.5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{- 4277}{60}$

Étape 4.1.2.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{4277}{60}$

Étape 4.1.2.6

La réponse finale est $- \frac{4277}{60}$ .

$- \frac{4277}{60}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $- \frac{7}{2}$ dans $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ est $(- \frac{7}{2}, - \frac{4277}{60})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \frac{7}{2}, - \frac{4277}{60})$

Étape 4.3

Remplacez $- 2.38196601$ dans $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.38196601$ dans l’expression.

$f (- 2.38196601) = \frac{1}{5} \cdot {(- 2.38196601)}^{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 2.38196601)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 2.38196601)}^{3} + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $- 2.38196601$ à la puissance $5$ .

$f (- 2.38196601) = \frac{1}{5} \cdot - 76.67924018 + \frac{7}{2} \cdot {(- 2.38196601)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 2.38196601)}^{3} + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Étape 4.3.2.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 76.67924018$ .

$f (- 2.38196601) = \frac{- 76.67924018}{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 2.38196601)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 2.38196601)}^{3} + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Étape 4.3.2.1.3

Divisez $- 76.67924018$ par $5$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + \frac{7}{2} \cdot {(- 2.38196601)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 2.38196601)}^{3} + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Étape 4.3.2.1.4

Élevez $- 2.38196601$ à la puissance $4$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + \frac{7}{2} \cdot 32.19157612 + \frac{71}{3} \cdot {(- 2.38196601)}^{3} + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Étape 4.3.2.1.5

Multipliez $\frac{7}{2} \cdot 32.19157612$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.5.1

Associez $\frac{7}{2}$ et $32.19157612$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + \frac{7 \cdot 32.19157612}{2} + \frac{71}{3} \cdot {(- 2.38196601)}^{3} + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Étape 4.3.2.1.5.2

Multipliez $7$ par $32.19157612$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + \frac{225.34103288}{2} + \frac{71}{3} \cdot {(- 2.38196601)}^{3} + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Étape 4.3.2.1.6

Divisez $225.34103288$ par $2$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + 112.67051644 + \frac{71}{3} \cdot {(- 2.38196601)}^{3} + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Étape 4.3.2.1.7

Élevez $- 2.38196601$ à la puissance $3$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + 112.67051644 + \frac{71}{3} \cdot - 13.51470842 + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Étape 4.3.2.1.8

Multipliez $\frac{71}{3} \cdot - 13.51470842$ .

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Étape 4.3.2.1.8.1

Associez $\frac{71}{3}$ et $- 13.51470842$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + 112.67051644 + \frac{71 \cdot - 13.51470842}{3} + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Étape 4.3.2.1.8.2

Multipliez $71$ par $- 13.51470842$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + 112.67051644 + \frac{- 959.54429835}{3} + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Étape 4.3.2.1.9

Divisez $- 959.54429835$ par $3$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + 112.67051644 - 319.84809945 + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Étape 4.3.2.1.10

Élevez $- 2.38196601$ à la puissance $2$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + 112.67051644 - 319.84809945 + 77 \cdot 5.67376207 + 120 (- 2.38196601)$

Étape 4.3.2.1.11

Multipliez $77$ par $5.67376207$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + 112.67051644 - 319.84809945 + 436.87968006 + 120 (- 2.38196601)$

Étape 4.3.2.1.12

Multipliez $120$ par $- 2.38196601$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + 112.67051644 - 319.84809945 + 436.87968006 - 285.83592135$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.3.2.2.1

Additionnez $- 15.33584803$ et $112.67051644$ .

$f (- 2.38196601) = 97.3346684 - 319.84809945 + 436.87968006 - 285.83592135$

Étape 4.3.2.2.2

Soustrayez $319.84809945$ de $97.3346684$ .

$f (- 2.38196601) = - 222.51343104 + 436.87968006 - 285.83592135$

Étape 4.3.2.2.3

Additionnez $- 222.51343104$ et $436.87968006$ .

$f (- 2.38196601) = 214.36624901 - 285.83592135$

Étape 4.3.2.2.4

Soustrayez $285.83592135$ de $214.36624901$ .

$f (- 2.38196601) = - 71.46967233$

Étape 4.3.2.3

La réponse finale est $- 71.46967233$ .

$- 71.46967233$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $- 2.38196601$ dans $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ est $(- 2.38196601, - 71.46967233)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 2.38196601, - 71.46967233)$

Étape 4.5

Remplacez $- 4.61803398$ dans $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4.61803398$ dans l’expression.

$f (- 4.61803398) = \frac{1}{5} \cdot {(- 4.61803398)}^{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 4.61803398)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 4.61803398)}^{3} + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Étape 4.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.1.1

Élevez $- 4.61803398$ à la puissance $5$ .

$f (- 4.61803398) = \frac{1}{5} \cdot - 2100.32075981 + \frac{7}{2} \cdot {(- 4.61803398)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 4.61803398)}^{3} + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Étape 4.5.2.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 2100.32075981$ .

$f (- 4.61803398) = \frac{- 2100.32075981}{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 4.61803398)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 4.61803398)}^{3} + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Étape 4.5.2.1.3

Divisez $- 2100.32075981$ par $5$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + \frac{7}{2} \cdot {(- 4.61803398)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 4.61803398)}^{3} + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Étape 4.5.2.1.4

Élevez $- 4.61803398$ à la puissance $4$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + \frac{7}{2} \cdot 454.80842387 + \frac{71}{3} \cdot {(- 4.61803398)}^{3} + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Étape 4.5.2.1.5

Multipliez $\frac{7}{2} \cdot 454.80842387$ .

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Étape 4.5.2.1.5.1

Associez $\frac{7}{2}$ et $454.80842387$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + \frac{7 \cdot 454.80842387}{2} + \frac{71}{3} \cdot {(- 4.61803398)}^{3} + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Étape 4.5.2.1.5.2

Multipliez $7$ par $454.80842387$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + \frac{3183.65896711}{2} + \frac{71}{3} \cdot {(- 4.61803398)}^{3} + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Étape 4.5.2.1.6

Divisez $3183.65896711$ par $2$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + 1591.82948355 + \frac{71}{3} \cdot {(- 4.61803398)}^{3} + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Étape 4.5.2.1.7

Élevez $- 4.61803398$ à la puissance $3$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + 1591.82948355 + \frac{71}{3} \cdot - 98.48529157 + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Étape 4.5.2.1.8

Multipliez $\frac{71}{3} \cdot - 98.48529157$ .

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Étape 4.5.2.1.8.1

Associez $\frac{71}{3}$ et $- 98.48529157$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + 1591.82948355 + \frac{71 \cdot - 98.48529157}{3} + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Étape 4.5.2.1.8.2

Multipliez $71$ par $- 98.48529157$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + 1591.82948355 + \frac{- 6992.45570164}{3} + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Étape 4.5.2.1.9

Divisez $- 6992.45570164$ par $3$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + 1591.82948355 - 2330.81856721 + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Étape 4.5.2.1.10

Élevez $- 4.61803398$ à la puissance $2$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + 1591.82948355 - 2330.81856721 + 77 \cdot 21.32623792 + 120 (- 4.61803398)$

Étape 4.5.2.1.11

Multipliez $77$ par $21.32623792$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + 1591.82948355 - 2330.81856721 + 1642.12031993 + 120 (- 4.61803398)$

Étape 4.5.2.1.12

Multipliez $120$ par $- 4.61803398$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + 1591.82948355 - 2330.81856721 + 1642.12031993 - 554.16407864$

Étape 4.5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.5.2.2.1

Additionnez $- 420.06415196$ et $1591.82948355$ .

$f (- 4.61803398) = 1171.76533159 - 2330.81856721 + 1642.12031993 - 554.16407864$

Étape 4.5.2.2.2

Soustrayez $2330.81856721$ de $1171.76533159$ .

$f (- 4.61803398) = - 1159.05323562 + 1642.12031993 - 554.16407864$

Étape 4.5.2.2.3

Additionnez $- 1159.05323562$ et $1642.12031993$ .

$f (- 4.61803398) = 483.06708431 - 554.16407864$

Étape 4.5.2.2.4

Soustrayez $554.16407864$ de $483.06708431$ .

$f (- 4.61803398) = - 71.09699433$

Étape 4.5.2.3

La réponse finale est $- 71.09699433$ .

$- 71.09699433$

Étape 4.6

Le point trouvé en remplaçant $- 4.61803398$ dans $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ est $(- 4.61803398, - 71.09699433)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 4.61803398, - 71.09699433)$

Étape 4.7

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(- \frac{7}{2}, - \frac{4277}{60}), (- 2.38196601, - 71.46967233), (- 4.61803398, - 71.09699433)$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 4.61803398) \cup (- 4.61803398, - \frac{7}{2}) \cup (- \frac{7}{2}, - 2.38196601) \cup (- 2.38196601, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 4.61803398)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4.71803398$ dans l’expression.

$f'' (- 4.71803398) = 4 {(- 4.71803398)}^{3} + 42 {(- 4.71803398)}^{2} + 142 (- 4.71803398) + 154$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 4.71803398$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4.71803398) = 4 \cdot - 105.02270396 + 42 {(- 4.71803398)}^{2} + 142 (- 4.71803398) + 154$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 105.02270396$ .

$f'' (- 4.71803398) = - 420.09081587 + 42 {(- 4.71803398)}^{2} + 142 (- 4.71803398) + 154$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 4.71803398$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4.71803398) = - 420.09081587 + 42 \cdot 22.25984471 + 142 (- 4.71803398) + 154$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $42$ par $22.25984471$ .

$f'' (- 4.71803398) = - 420.09081587 + 934.91347819 + 142 (- 4.71803398) + 154$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $142$ par $- 4.71803398$ .

$f'' (- 4.71803398) = - 420.09081587 + 934.91347819 - 669.9608264 + 154$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 420.09081587$ et $934.91347819$ .

$f'' (- 4.71803398) = 514.82266232 - 669.9608264 + 154$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $669.9608264$ de $514.82266232$ .

$f'' (- 4.71803398) = - 155.13816407 + 154$

Étape 6.2.2.3

Additionnez $- 155.13816407$ et $154$ .

$f'' (- 4.71803398) = - 1.13816407$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 1.13816407$ .

$- 1.13816407$

Étape 6.3

Sur $- 4.71803398$ , la dérivée seconde est $- 1.13816407$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - 4.61803398)$

Diminue sur $(- \infty, - 4.61803398)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 4.61803398, - \frac{7}{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4.05901699$ dans l’expression.

$f'' (- 4.05901699) = 4 {(- 4.05901699)}^{3} + 42 {(- 4.05901699)}^{2} + 142 (- 4.05901699) + 154$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $- 4.05901699$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4.05901699) = 4 \cdot - 66.87481735 + 42 {(- 4.05901699)}^{2} + 142 (- 4.05901699) + 154$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 66.87481735$ .

$f'' (- 4.05901699) = - 267.49926941 + 42 {(- 4.05901699)}^{2} + 142 (- 4.05901699) + 154$

Étape 7.2.1.3

Élevez $- 4.05901699$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4.05901699) = - 267.49926941 + 42 \cdot 16.47561896 + 142 (- 4.05901699) + 154$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $42$ par $16.47561896$ .

$f'' (- 4.05901699) = - 267.49926941 + 691.97599634 + 142 (- 4.05901699) + 154$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $142$ par $- 4.05901699$ .

$f'' (- 4.05901699) = - 267.49926941 + 691.97599634 - 576.3804132 + 154$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $- 267.49926941$ et $691.97599634$ .

$f'' (- 4.05901699) = 424.47672693 - 576.3804132 + 154$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $576.3804132$ de $424.47672693$ .

$f'' (- 4.05901699) = - 151.90368627 + 154$

Étape 7.2.2.3

Additionnez $- 151.90368627$ et $154$ .

$f'' (- 4.05901699) = 2.09631372$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $2.09631372$ .

$2.09631372$

Étape 7.3

Sur $- 4.05901699$ , la dérivée seconde est $2.09631372$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- 4.61803398, - \frac{7}{2})$ .

Augmente sur $(- 4.61803398, - \frac{7}{2})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \frac{7}{2}, - 2.38196601)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.940983$ dans l’expression.

$f'' (- 2.940983) = 4 {(- 2.940983)}^{3} + 42 {(- 2.940983)}^{2} + 142 (- 2.940983) + 154$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $- 2.940983$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 2.940983) = 4 \cdot - 25.43768264 + 42 {(- 2.940983)}^{2} + 142 (- 2.940983) + 154$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 25.43768264$ .

$f'' (- 2.940983) = - 101.75073058 + 42 {(- 2.940983)}^{2} + 142 (- 2.940983) + 154$

Étape 8.2.1.3

Élevez $- 2.940983$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2.940983) = - 101.75073058 + 42 \cdot 8.64938103 + 142 (- 2.940983) + 154$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $42$ par $8.64938103$ .

$f'' (- 2.940983) = - 101.75073058 + 363.27400365 + 142 (- 2.940983) + 154$

Étape 8.2.1.5

Multipliez $142$ par $- 2.940983$ .

$f'' (- 2.940983) = - 101.75073058 + 363.27400365 - 417.61958679 + 154$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $- 101.75073058$ et $363.27400365$ .

$f'' (- 2.940983) = 261.52327306 - 417.61958679 + 154$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $417.61958679$ de $261.52327306$ .

$f'' (- 2.940983) = - 156.09631372 + 154$

Étape 8.2.2.3

Additionnez $- 156.09631372$ et $154$ .

$f'' (- 2.940983) = - 2.09631372$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 2.09631372$ .

$- 2.09631372$

Étape 8.3

Sur $- 2.940983$ , la dérivée seconde est $- 2.09631372$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \frac{7}{2}, - 2.38196601)$

Diminue sur $(- \frac{7}{2}, - 2.38196601)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2.38196601, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.28196601$ dans l’expression.

$f'' (- 2.28196601) = 4 {(- 2.28196601)}^{3} + 42 {(- 2.28196601)}^{2} + 142 (- 2.28196601) + 154$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Élevez $- 2.28196601$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 2.28196601) = 4 \cdot - 11.88303878 + 42 {(- 2.28196601)}^{2} + 142 (- 2.28196601) + 154$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 11.88303878$ .

$f'' (- 2.28196601) = - 47.53215513 + 42 {(- 2.28196601)}^{2} + 142 (- 2.28196601) + 154$

Étape 9.2.1.3

Élevez $- 2.28196601$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2.28196601) = - 47.53215513 + 42 \cdot 5.20736887 + 142 (- 2.28196601) + 154$

Étape 9.2.1.4

Multipliez $42$ par $5.20736887$ .

$f'' (- 2.28196601) = - 47.53215513 + 218.70949281 + 142 (- 2.28196601) + 154$

Étape 9.2.1.5

Multipliez $142$ par $- 2.28196601$ .

$f'' (- 2.28196601) = - 47.53215513 + 218.70949281 - 324.03917359 + 154$

Étape 9.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 9.2.2.1

Additionnez $- 47.53215513$ et $218.70949281$ .

$f'' (- 2.28196601) = 171.17733767 - 324.03917359 + 154$

Étape 9.2.2.2

Soustrayez $324.03917359$ de $171.17733767$ .

$f'' (- 2.28196601) = - 152.86183592 + 154$

Étape 9.2.2.3

Additionnez $- 152.86183592$ et $154$ .

$f'' (- 2.28196601) = 1.13816407$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $1.13816407$ .

$1.13816407$

Étape 9.3

Sur $- 2.28196601$ , la dérivée seconde est $1.13816407$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- 2.38196601, \infty)$ .

Augmente sur $(- 2.38196601, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 10

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- 4.61803398, - 71.09699433), (- \frac{7}{2}, - \frac{4277}{60}), (- 2.38196601, - 71.46967233)$ .

$(- 4.61803398, - 71.09699433), (- \frac{7}{2}, - \frac{4277}{60}), (- 2.38196601, - 71.46967233)$

Étape 11