Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 10 x \ln (| x |)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x \ln (| x |)$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (| x |)$ .

$10 (x \frac{d}{d x} [\ln (| x |)] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = | x |$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $| x |$ .

$10 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$10 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $| x |$ .

$10 (x (\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4

Associez $\frac{1}{| x |}$ et $x$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.5

La dérivée de $| x |$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.6

Multipliez $\frac{x}{| x |}$ par $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x \cdot x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 (\frac{x^{1 + 1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.11

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$10 (\frac{x^{2}}{| x \cdot x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x^{1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1 + 1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \cdot 1)$

Étape 1.17

Multipliez $\ln (| x |)$ par $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |))$

Étape 1.18

Simplifiez

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Étape 1.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$10 \frac{x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Étape 1.18.2

Associez $10$ et $\frac{x^{2}}{| x^{2} |}$ .

$\frac{10 x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Étape 1.18.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.18.3.1

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Étape 1.18.3.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.18.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Étape 1.18.3.2.2

Divisez $10$ par $1$ .

$10 + 10 \ln (| x |)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 + 10 \ln (| x |)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [10 \ln (| x |)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10) + \frac{d}{d x} (10 \ln (| x |))$

Étape 2.1.2

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (10 \ln (| x |))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 \ln (| x |)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 \ln (| x |)$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$f'' (x) = 0 + 10 \frac{d}{d x} (\ln (| x |))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = | x |$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $| x |$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (| x |))$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (| x |))$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $| x |$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (| x |))$

Étape 2.2.3

La dérivée de $| x |$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |})$

Étape 2.2.4

Multipliez $\frac{1}{| x |}$ par $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x | | x |})$

Étape 2.2.5

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

Étape 2.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

Étape 2.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

Étape 2.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x^{1 + 1} |})$

Étape 2.2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x^{2} |})$

Étape 2.2.10

Associez $10$ et $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{10 x}{| x^{2} |}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Additionnez $0$ et $\frac{10 x}{| x^{2} |}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x}{| x^{2} |}$

Étape 2.3.2

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$f'' (x) = \frac{10 x}{x^{2}}$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x^{2}}$

Étape 2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x \cdot x}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x \cdot x}$

Étape 2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{10}{x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$10 + 10 \ln (| x |) = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x \ln (| x |)$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$

Étape 4.1.2

$10 (x \frac{d}{d x} [\ln (| x |)] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = | x |$ .

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Étape 4.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $| x |$ .

$10 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$10 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $| x |$ .

$10 (x (\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4

Associez $\frac{1}{| x |}$ et $x$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.5

La dérivée de $| x |$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.6

Multipliez $\frac{x}{| x |}$ par $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x \cdot x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 (\frac{x^{1 + 1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.11

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$10 (\frac{x^{2}}{| x \cdot x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x^{1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1 + 1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \cdot 1)$

Étape 4.1.17

Multipliez $\ln (| x |)$ par $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |))$

Étape 4.1.18

Simplifiez

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Étape 4.1.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$10 \frac{x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Étape 4.1.18.2

Associez $10$ et $\frac{x^{2}}{| x^{2} |}$ .

$\frac{10 x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Étape 4.1.18.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.18.3.1

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Étape 4.1.18.3.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.1.18.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Étape 4.1.18.3.2.2

Divisez $10$ par $1$ .

$f' (x) = 10 + 10 \ln (| x |)$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $10 + 10 \ln (| x |)$ .

$10 + 10 \ln (| x |)$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $10 + 10 \ln (| x |) = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$10 + 10 \ln (| x |) = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$10 \ln (| x |) = - 10$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $10 \ln (| x |) = - 10$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $10 \ln (| x |) = - 10$ par $10$ .

$\frac{10 \ln (| x |)}{10} = \frac{- 10}{10}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 \ln (| x |)}{10} = \frac{- 10}{10}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $\ln (| x |)$ par $1$ .

$\ln (| x |) = \frac{- 10}{10}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $- 10$ par $10$ .

$\ln (| x |) = - 1$

Étape 5.4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| x |)} = e^{- 1}$

Étape 5.5

Réécrivez $\ln (| x |) = - 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = | x |$

Étape 5.6

Résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Réécrivez l’équation comme $| x | = e^{- 1}$ .

$| x | = e^{- 1}$

Étape 5.6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$| x | = \frac{1}{e}$

Étape 5.6.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x = \pm \frac{1}{e}$

Étape 5.6.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.6.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{1}{e}$

Étape 5.6.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{1}{e}$

Étape 5.6.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez l’argument dans $\ln (| x |)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$| x | \leq 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Écrivez $| x | \leq 0$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 6.2.1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 6.2.1.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq 0$

Étape 6.2.1.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 6.2.1.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq 0$

Étape 6.2.1.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 6.2.2

Déterminez l’intersection de $x \leq 0$ et $x \geq 0$ .

$x = 0$

Étape 6.2.3

Résolvez $- x \leq 0$ quand $x < 0$ .

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Étape 6.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 0$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.3.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$x \geq 0$

Étape 6.2.3.2

Déterminez l’intersection de $x \geq 0$ et $x < 0$ .

Aucune solution

Étape 6.2.4

Déterminez l’union des solutions.

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1}{e}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{10}{\frac{1}{e}}$

Étape 9

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$10 e$

Étape 10

$x = \frac{1}{e}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1}{e}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1}{e}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{e}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{e}) = 10 (\frac{1}{e}) \ln (| \frac{1}{e} |)$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Associez $10$ et $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (| \frac{1}{e} |)$

Étape 11.2.2

$\frac{1}{e}$ est d’environ $0.36787944$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

Étape 11.2.3

Réécrivez $\frac{1}{e}$ comme $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Étape 11.2.4

Réécrivez $\ln (1 e^{- 1})$ comme $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Étape 11.2.5

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 1$ de l’exposant.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Étape 11.2.6

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Étape 11.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Étape 11.2.8

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (0 - 1)$

Étape 11.2.9

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot - 1$

Étape 11.2.10

Multipliez $\frac{10}{e} \cdot - 1$ .

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Étape 11.2.10.1

Associez $\frac{10}{e}$ et $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10 \cdot - 1}{e}$

Étape 11.2.10.2

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 10}{e}$

Étape 11.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{10}{e}$

Étape 11.2.12

La réponse finale est $- \frac{10}{e}$ .

$y = - \frac{10}{e}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{1}{e}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{10}{- \frac{1}{e}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$10 (- e)$

Étape 13.2

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$- 10 e$

Étape 14

$x = - \frac{1}{e}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{1}{e}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{1}{e}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{e}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{e}) = 10 (- \frac{1}{e}) \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Multipliez $10 (- \frac{1}{e})$ .

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Étape 15.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - 10 \frac{1}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Étape 15.2.1.2

Associez $- 10$ et $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{- 10}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Étape 15.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Étape 15.2.3

$- \frac{1}{e}$ est d’environ $- 0.36787944$ qui est négatif, alors inversez $- \frac{1}{e}$ et retirez la valeur absolue

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

Étape 15.2.4

Réécrivez $\frac{1}{e}$ comme $1 e^{- 1}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Étape 15.2.5

Réécrivez $\ln (1 e^{- 1})$ comme $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Étape 15.2.6

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 1$ de l’exposant.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Étape 15.2.7

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Étape 15.2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Étape 15.2.9

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (0 - 1)$

Étape 15.2.10

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot - 1$

Étape 15.2.11

Multipliez $- \frac{10}{e} \cdot - 1$ .

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Étape 15.2.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = 1 (\frac{10}{e})$

Étape 15.2.11.2

Multipliez $\frac{10}{e}$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{10}{e}$

Étape 15.2.12

La réponse finale est $\frac{10}{e}$ .

$y = \frac{10}{e}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 10 x \ln (| x |)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{10}{e})$ est un minimum local

$(- \frac{1}{e}, \frac{10}{e})$ est un maximum local

Étape 17