Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$ comme ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 1.7.3

Placez ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.10

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.12

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.13

Comme $45$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $45 x$ par rapport à $x$ est $45 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.15

Multipliez $45$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.16

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45 + 0)$

Étape 1.17

Additionnez $3 x^{2} - 24 x + 45$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45)$

Étape 1.18

Simplifiez

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Étape 1.18.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45)$ .

$(3 x^{2} - 24 x + 45) \frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.18.2

Multipliez $3 x^{2} - 24 x + 45$ par $\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{2} - 24 x + 45}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.18.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.18.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 24 x + 45$ .

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Étape 1.18.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) - 24 x + 45}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.18.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 24 x$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 8 x) + 45}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.18.3.1.3

Factorisez $3$ à partir de $45$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 8 x) + 3 \cdot 15}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.18.3.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (- 8 x)$ .

$\frac{3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot 15}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.18.3.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot 15$ .

$\frac{3 (x^{2} - 8 x + 15)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.18.3.2

Factorisez $x^{2} - 8 x + 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.18.3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $15$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 5, - 3$

Étape 1.18.3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3 ((x - 5) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{(x - 5) (x - 3)}{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{(x - 5) (x - 3)}{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = (x - 5) (x - 3)$ et $g (x) = {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 3)) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 3)) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 3)) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

Étape 2.4

Simplifiez

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 5$ et $g (x) = x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.6

Différenciez.

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Étape 2.6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} ((x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} ((x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.6.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} ((x - 5) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} ((x - 5) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.6.4.2

Multipliez $x - 5$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (x - 5 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.6.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (x - 5 + (x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.6.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (x - 5 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.6.7

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (x - 5 + (x - 3) (1 + 0)) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.6.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.6.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (x - 5 + (x - 3) \cdot 1) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.6.8.2

Multipliez $x - 3$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (x - 5 + x - 3) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.6.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 5 - 3) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.6.8.4

Soustrayez $3$ de $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ .

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Étape 2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.12

Associez les fractions.

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Étape 2.12.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.12.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.12.3

Placez ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (45 x) + \frac{d}{d x} (2)))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (45 x) + \frac{d}{d x} (2)))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.15

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (45 x) + \frac{d}{d x} (2)))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (45 x) + \frac{d}{d x} (2)))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.17

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (45 x) + \frac{d}{d x} (2)))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.18

Comme $45$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $45 x$ par rapport à $x$ est $45 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.19

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.20

Multipliez $45$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45 + \frac{d}{d x} (2)))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Étape 2.21

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

Étape 2.22

Associez les fractions.

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Étape 2.22.1

Additionnez $3 x^{2} - 24 x + 45$ et $0$ .

Étape 2.22.2

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}$

Étape 2.23

Simplifiez

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Étape 2.23.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) + (- x + 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}$

Étape 2.23.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8)) + 3 ((- x + 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}$

Étape 2.23.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8)) + 3 ((- x + 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.23.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) + 3 (- x - - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45))$ .

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Étape 2.23.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8)$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8)) + 3 (- x + 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x - - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45))$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8)) + 3 (((- x + 5) (x - 3)) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8)) + 3 (((- x - - 5) (x - 3)) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45)))$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) + ((- x + 5) (x - 3)) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x) + {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 8 + ((- x + 5) (x - 3)) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 8 + ((- x + 5) (x - 3)) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.4

Déplacez $- 8$ à gauche de ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 \cdot {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + ((- x + 5) (x - 3)) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.5

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x + 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.6

Développez $(- x + 5) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.23.4.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x (x - 3) + 5 (x - 3)) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x \cdot x - x \cdot - 3 + 5 (x - 3)) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x \cdot x - x \cdot - 3 + 5 x + 5 \cdot - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.23.4.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.23.4.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.23.4.7.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 5 x + 5 \cdot - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.7.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} - x \cdot - 3 + 5 x + 5 \cdot - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.7.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 3 x + 5 x + 5 \cdot - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.7.1.3

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 3 x + 5 x - 15) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.7.2

Additionnez $3 x$ et $5 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 8 x - 15) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.8

Multipliez $\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ par $3 x^{2} - 24 x + 45$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 8 x - 15) (\frac{3 x^{2} - 24 x + 45}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.23.4.9.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 24 x + 45$ .

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Étape 2.23.4.9.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 8 x - 15) (\frac{3 (x^{2}) - 24 x + 45}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.9.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 24 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 8 x - 15) (\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 8 x) + 45}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.9.1.3

Factorisez $3$ à partir de $45$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 8 x - 15) (\frac{3 x^{2} + 3 (- 8 x) + 3 \cdot 15}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.9.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (- 8 x)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 8 x - 15) (\frac{3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot 15}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.9.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot 15$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 8 x - 15) (\frac{3 (x^{2} - 8 x + 15)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.9.2

Factorisez $x^{2} - 8 x + 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.23.4.9.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $15$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 5, - 3$

Étape 2.23.4.9.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 8 x - 15) (\frac{3 ((x - 5) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 8 x - 15) (\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.10

Multipliez $- x^{2} + 8 x - 15$ par $\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(- x^{2} + 8 x - 15) (3 (x - 5) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.23.4.11.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.23.4.11.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 15 = 15$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 2.23.4.11.1.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(- x^{2} + 8 (x) - 15) \cdot (3 (x - 5) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.11.1.1.2

Réécrivez $8$ comme $3$ plus $5$

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(- x^{2} + (3 + 5) x - 15) \cdot (3 (x - 5) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.11.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(- x^{2} + 3 x + 5 x - 15) \cdot (3 (x - 5) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.11.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.23.4.11.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{((- x^{2} + 3 x) + 5 x - 15) \cdot (3 (x - 5) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.11.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(x (- x + 3) - 5 (- x + 3)) \cdot (3 (x - 5) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.11.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(- x + 3) (x - 5) \cdot (3 (x - 5) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.11.2

Associez les exposants.

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Étape 2.23.4.11.2.1

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(- x + 3) \cdot (3 ((x - 5) (x - 5)) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.11.2.2

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

Étape 2.23.4.11.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(- x + 3) \cdot (3 {(x - 5)}^{1 + 1} (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.11.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(- x + 3) \cdot (3 {(x - 5)}^{2} (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.11.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(- (x) + 3) \cdot (3 {(x - 5)}^{2} (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.11.2.6

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(- (x) - 1 \cdot - 3) \cdot (3 {(x - 5)}^{2} (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.11.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- (x - 3) \cdot (3 {(x - 5)}^{2} (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.11.2.8

Réécrivez $- (x - 3)$ comme $- 1 (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1 (x - 3) \cdot (3 {(x - 5)}^{2} (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.11.2.9

Élevez $x - 3$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1 \cdot (3 {(x - 5)}^{2} ((x - 3) (x - 3)))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.11.2.10

Élevez $x - 3$ à la puissance $1$ .

Étape 2.23.4.11.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1 \cdot (3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{1 + 1})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.11.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1 \cdot (3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.11.2.13

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.13

Pour écrire $2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.14

Associez $2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ et $\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}) - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.16

Pour écrire $- 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}) - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.17

Associez $- 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}) - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}) - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19

Réécrivez $\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}) - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.23.4.19.1

Multipliez ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.23.4.19.1.1

Déplacez ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}) x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{2}{2}} x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2) x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.2

Simplifiez $2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{1} x \cdot 2$ .

Étape 2.23.4.19.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2) x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.4

Simplifiez

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Étape 2.23.4.19.4.1

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{3} - 24 x^{2} + 2 (45 x) + 2 \cdot 2) x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.4.2

Multipliez $45$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{3} - 24 x^{2} + 90 x + 2 \cdot 2) x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{3} - 24 x^{2} + 90 x + 4) x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.5

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{3} x - 24 x^{2} x + 90 x \cdot x + 4 x) \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.6

Simplifiez

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Étape 2.23.4.19.6.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.23.4.19.6.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 (x \cdot x^{3}) - 24 x^{2} x + 90 x \cdot x + 4 x) \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.6.1.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 2.23.4.19.6.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.23.4.19.6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{1 + 3} - 24 x^{2} x + 90 x \cdot x + 4 x) \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.6.1.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{4} - 24 x^{2} x + 90 x \cdot x + 4 x) \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.23.4.19.6.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{4} - 24 (x \cdot x^{2}) + 90 x \cdot x + 4 x) \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.6.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.23.4.19.6.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.23.4.19.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{4} - 24 x^{1 + 2} + 90 x \cdot x + 4 x) \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.6.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{4} - 24 x^{3} + 90 x \cdot x + 4 x) \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.6.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.23.4.19.6.3.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{4} - 24 x^{3} + 90 (x \cdot x) + 4 x) \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.6.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{4} - 24 x^{3} + 90 x^{2} + 4 x) \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.7

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x^{4} \cdot 2 - 24 x^{3} \cdot 2 + 90 x^{2} \cdot 2 + 4 x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.8

Simplifiez

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Étape 2.23.4.19.8.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 24 x^{3} \cdot 2 + 90 x^{2} \cdot 2 + 4 x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.8.2

Multipliez $2$ par $- 24$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 90 x^{2} \cdot 2 + 4 x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.8.3

Multipliez $2$ par $90$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 4 x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.8.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.9

Réécrivez ${(x - 5)}^{2}$ comme $(x - 5) (x - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 ((x - 5) (x - 5)) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.10

Développez $(x - 5) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.23.4.19.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 (x (x - 5) - 5 (x - 5)) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.23.4.19.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.23.4.19.11.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.11.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.11.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.11.2

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 (x^{2} - 10 x + 25) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.12

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} - 3 (- 10 x) - 3 \cdot 25) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.13

Simplifiez

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Étape 2.23.4.19.13.1

Multipliez $- 10$ par $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} + 30 x - 3 \cdot 25) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.13.2

Multipliez $- 3$ par $25$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} + 30 x - 75) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.14

Réécrivez ${(x - 3)}^{2}$ comme $(x - 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} + 30 x - 75) ((x - 3) (x - 3)) - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.15

Développez $(x - 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.23.4.19.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} + 30 x - 75) (x (x - 3) - 3 (x - 3)) - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} + 30 x - 75) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.15.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} + 30 x - 75) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.16

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.23.4.19.16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.23.4.19.16.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} + 30 x - 75) (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.16.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} + 30 x - 75) (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.16.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} + 30 x - 75) (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.16.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} + 30 x - 75) (x^{2} - 6 x + 9) - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.17

Développez $(- 3 x^{2} + 30 x - 75) (x^{2} - 6 x + 9)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{2} x^{2} - 3 x^{2} (- 6 x) - 3 x^{2} \cdot 9 + 30 x \cdot x^{2} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.18

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.23.4.19.18.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.23.4.19.18.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 (x^{2} x^{2}) - 3 x^{2} (- 6 x) - 3 x^{2} \cdot 9 + 30 x \cdot x^{2} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.18.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{2 + 2} - 3 x^{2} (- 6 x) - 3 x^{2} \cdot 9 + 30 x \cdot x^{2} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.18.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} - 3 x^{2} (- 6 x) - 3 x^{2} \cdot 9 + 30 x \cdot x^{2} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.18.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} - 3 \cdot (- 6 x^{2} x) - 3 x^{2} \cdot 9 + 30 x \cdot x^{2} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.18.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.23.4.19.18.3.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} - 3 \cdot (- 6 (x \cdot x^{2})) - 3 x^{2} \cdot 9 + 30 x \cdot x^{2} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.18.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.23.4.19.18.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.23.4.19.18.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} - 3 \cdot (- 6 x^{1 + 2}) - 3 x^{2} \cdot 9 + 30 x \cdot x^{2} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.18.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} - 3 \cdot (- 6 x^{3}) - 3 x^{2} \cdot 9 + 30 x \cdot x^{2} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.18.4

Multipliez $- 3$ par $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 3 x^{2} \cdot 9 + 30 x \cdot x^{2} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.18.5

Multipliez $9$ par $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 x \cdot x^{2} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.18.6

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.23.4.19.18.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 (x^{2} x) + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.18.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.23.4.19.18.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.23.4.19.18.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 x^{2 + 1} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.18.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 x^{3} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.18.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 x^{3} + 30 \cdot (- 6 x \cdot x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.18.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.23.4.19.18.8.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 x^{3} + 30 \cdot (- 6 (x \cdot x)) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.18.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 x^{3} + 30 \cdot (- 6 x^{2}) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.18.9

Multipliez $30$ par $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 x^{3} - 180 x^{2} + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.18.10

Multipliez $9$ par $30$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 x^{3} - 180 x^{2} + 270 x - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.18.11

Multipliez $- 6$ par $- 75$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 x^{3} - 180 x^{2} + 270 x - 75 x^{2} + 450 x - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.18.12

Multipliez $- 75$ par $9$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 x^{3} - 180 x^{2} + 270 x - 75 x^{2} + 450 x - 675 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.19

Additionnez $18 x^{3}$ et $30 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 27 x^{2} - 180 x^{2} + 270 x - 75 x^{2} + 450 x - 675 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.20

Soustrayez $180 x^{2}$ de $- 27 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 207 x^{2} + 270 x - 75 x^{2} + 450 x - 675 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.21

Soustrayez $75 x^{2}$ de $- 207 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 270 x + 450 x - 675 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.22

Additionnez $270 x$ et $450 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.23

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 8 \cdot (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.24

Multipliez ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.23.4.19.24.1

Déplacez ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 8 \cdot (2 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.24.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 8 \cdot (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.24.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 8 \cdot (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.24.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 8 \cdot (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{2}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.24.5

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 8 \cdot (2 (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.25

Simplifiez $- 8 \cdot 2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{1}$ .

Étape 2.23.4.19.26

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 16 (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.27

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 16 x^{3} - 16 (- 12 x^{2}) - 16 (45 x) - 16 \cdot 2}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.28

Simplifiez

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Étape 2.23.4.19.28.1

Multipliez $- 12$ par $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 16 x^{3} + 192 x^{2} - 16 (45 x) - 16 \cdot 2}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.28.2

Multipliez $45$ par $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 16 x^{3} + 192 x^{2} - 720 x - 16 \cdot 2}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.28.3

Multipliez $- 16$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 16 x^{3} + 192 x^{2} - 720 x - 32}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.29

Soustrayez $3 x^{4}$ de $4 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 16 x^{3} + 192 x^{2} - 720 x - 32}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.30

Additionnez $- 48 x^{3}$ et $48 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x^{4} + 180 x^{2} + 8 x + 0 - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 16 x^{3} + 192 x^{2} - 720 x - 32}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.31

Additionnez $x^{4}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x^{4} + 180 x^{2} + 8 x - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 16 x^{3} + 192 x^{2} - 720 x - 32}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.32

Soustrayez $282 x^{2}$ de $180 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x^{4} - 102 x^{2} + 8 x + 720 x - 675 - 16 x^{3} + 192 x^{2} - 720 x - 32}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.33

Additionnez $- 102 x^{2}$ et $192 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x^{4} + 90 x^{2} + 8 x + 720 x - 675 - 16 x^{3} - 720 x - 32}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.34

Additionnez $8 x$ et $720 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x^{4} + 90 x^{2} + 728 x - 675 - 16 x^{3} - 720 x - 32}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.35

Soustrayez $720 x$ de $728 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x^{4} + 90 x^{2} + 8 x - 675 - 16 x^{3} - 32}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.36

Soustrayez $32$ de $- 675$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x^{4} + 90 x^{2} + 8 x - 16 x^{3} - 707}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.4.19.37

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.5

Associez des termes.

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Étape 2.23.5.1

Associez $3$ et $\frac{x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.5.2

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{3} - 24 x^{2} + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.5.3

Multipliez $45$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{3} - 24 x^{2} + 90 x + 2 \cdot 2}$

Étape 2.23.5.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{3} - 24 x^{2} + 90 x + 4}$

Étape 2.23.5.5

Réécrivez $\frac{\frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{3} - 24 x^{2} + 90 x + 4}$ comme un produit.

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{3} - 24 x^{2} + 90 x + 4}$

Étape 2.23.5.6

Multipliez $\frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{2 x^{3} - 24 x^{2} + 90 x + 4}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{3} - 24 x^{2} + 90 x + 4)}$

Étape 2.23.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.23.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} - 24 x^{2} + 90 x + 4$ .

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Étape 2.23.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 (x^{3}) - 24 x^{2} + 90 x + 4)}$

Étape 2.23.6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 24 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 (x^{3}) + 2 (- 12 x^{2}) + 90 x + 4)}$

Étape 2.23.6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $90 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 (x^{3}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 4)}$

Étape 2.23.6.1.4

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2)}$

Étape 2.23.6.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 (x^{3} - 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2)}$

Étape 2.23.6.1.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{3} - 12 x^{2}) + 2 (45 x)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x) + 2 \cdot 2)}$

Étape 2.23.6.1.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x) + 2 \cdot 2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}$

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}$

Étape 2.23.6.2

Associez les exposants.

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Étape 2.23.6.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{4 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}$

Étape 2.23.6.2.2

Élevez $x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{4 ((x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2) {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 2.23.6.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{4 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 2.23.6.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{4 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 2.23.6.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{4 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 2.23.6.2.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{4 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$ comme ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 4.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 4.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 4.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 4.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 4.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 4.1.7

Associez les fractions.

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Étape 4.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 4.1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 4.1.7.3

Placez ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Étape 4.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 4.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 4.1.10

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 4.1.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 4.1.12

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 4.1.13

Comme $45$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $45 x$ par rapport à $x$ est $45 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 4.1.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 4.1.15

Multipliez $45$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 4.1.16

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45 + 0)$

Étape 4.1.17

Additionnez $3 x^{2} - 24 x + 45$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45)$

Étape 4.1.18

Simplifiez

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Étape 4.1.18.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45)$ .

$(3 x^{2} - 24 x + 45) \frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.18.2

Multipliez $3 x^{2} - 24 x + 45$ par $\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{2} - 24 x + 45}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.18.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.18.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 24 x + 45$ .

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Étape 4.1.18.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) - 24 x + 45}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.18.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 24 x$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 8 x) + 45}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.18.3.1.3

Factorisez $3$ à partir de $45$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 8 x) + 3 \cdot 15}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.18.3.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (- 8 x)$ .

$\frac{3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot 15}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.18.3.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot 15$ .

$\frac{3 (x^{2} - 8 x + 15)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.18.3.2

Factorisez $x^{2} - 8 x + 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1.18.3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $15$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 5, - 3$

Étape 4.1.18.3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f' (x) = \frac{3 ((x - 5) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

$f' (x) = \frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 (x - 5) (x - 3) = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 5.3.2

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 5.3.2.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 5.3.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5.3.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 5) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 5, 3$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 \sqrt{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{1}}}$

Étape 6.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 \sqrt{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 \sqrt{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 \sqrt{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2} = 0$

Étape 6.3

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

Aucune solution

Étape 6.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2 < 0$

Étape 6.5

Résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 0.04392798$

Étape 6.5.2

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 0.04392798$

Étape 6.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x < - 0.04392798$

$(- \infty, - 0.04392798)$

$x < - 0.04392798$

$(- \infty, - 0.04392798)$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 5, 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{3 ({(5)}^{4} - 16 {(5)}^{3} + 90 {(5)}^{2} + 8 (5) - 707)}{4 {({(5)}^{3} - 12 {(5)}^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$\frac{3 (625 - 16 \cdot 5^{3} + 90 \cdot 5^{2} + 8 (5) - 707)}{4 {(5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{3 (625 - 16 \cdot 125 + 90 \cdot 5^{2} + 8 (5) - 707)}{4 {(5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 16$ par $125$ .

$\frac{3 (625 - 2000 + 90 \cdot 5^{2} + 8 (5) - 707)}{4 {(5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{3 (625 - 2000 + 90 \cdot 25 + 8 (5) - 707)}{4 {(5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.5

Multipliez $90$ par $25$ .

$\frac{3 (625 - 2000 + 2250 + 8 (5) - 707)}{4 {(5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.6

Multipliez $8$ par $5$ .

$\frac{3 (625 - 2000 + 2250 + 40 - 707)}{4 {(5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.7

Soustrayez $2000$ de $625$ .

$\frac{3 (- 1375 + 2250 + 40 - 707)}{4 {(5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.8

Additionnez $- 1375$ et $2250$ .

$\frac{3 (875 + 40 - 707)}{4 {(5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.9

Additionnez $875$ et $40$ .

$\frac{3 (915 - 707)}{4 {(5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.10

Soustrayez $707$ de $915$ .

$\frac{3 \cdot 208}{4 {(5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{3 \cdot 208}{4 {(125 - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{3 \cdot 208}{4 {(125 - 12 \cdot 25 + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $25$ .

$\frac{3 \cdot 208}{4 {(125 - 300 + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.4

Multipliez $45$ par $5$ .

$\frac{3 \cdot 208}{4 {(125 - 300 + 225 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.2

Soustrayez $300$ de $125$ .

$\frac{3 \cdot 208}{4 {(- 175 + 225 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.3

Additionnez $- 175$ et $225$ .

$\frac{3 \cdot 208}{4 {(50 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.4

Additionnez $50$ et $2$ .

$\frac{3 \cdot 208}{4 \cdot 52^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 9.3.1

Multipliez $3$ par $208$ .

$\frac{624}{4 \cdot 52^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.2

Factorisez $4$ à partir de $624$ .

$\frac{4 \cdot 156}{4 \cdot 52^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 52^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot 156}{4 (52^{\frac{3}{2}})}$

Étape 9.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 156}{4 \cdot 52^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{156}{52^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10

$x = 5$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 5$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 5$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = \sqrt{{(5)}^{3} - 12 {(5)}^{2} + 45 (5) + 2}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f (5) = \sqrt{125 - 12 {(5)}^{2} + 45 (5) + 2}$

Étape 11.2.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (5) = \sqrt{125 - 12 \cdot 25 + 45 (5) + 2}$

Étape 11.2.3

Multipliez $- 12$ par $25$ .

$f (5) = \sqrt{125 - 300 + 45 (5) + 2}$

Étape 11.2.4

Multipliez $45$ par $5$ .

$f (5) = \sqrt{125 - 300 + 225 + 2}$

Étape 11.2.5

Soustrayez $300$ de $125$ .

$f (5) = \sqrt{- 175 + 225 + 2}$

Étape 11.2.6

Additionnez $- 175$ et $225$ .

$f (5) = \sqrt{50 + 2}$

Étape 11.2.7

Additionnez $50$ et $2$ .

$f (5) = \sqrt{52}$

Étape 11.2.8

Réécrivez $52$ comme $2^{2} \cdot 13$ .

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Étape 11.2.8.1

Factorisez $4$ à partir de $52$ .

$f (5) = \sqrt{4 (13)}$

Étape 11.2.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (5) = \sqrt{2^{2} \cdot 13}$

Étape 11.2.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (5) = 2 \sqrt{13}$

Étape 11.2.10

La réponse finale est $2 \sqrt{13}$ .

$y = 2 \sqrt{13}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{3 ({(3)}^{4} - 16 {(3)}^{3} + 90 {(3)}^{2} + 8 (3) - 707)}{4 {({(3)}^{3} - 12 {(3)}^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{3 (81 - 16 \cdot 3^{3} + 90 \cdot 3^{2} + 8 (3) - 707)}{4 {(3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{3 (81 - 16 \cdot 27 + 90 \cdot 3^{2} + 8 (3) - 707)}{4 {(3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 16$ par $27$ .

$\frac{3 (81 - 432 + 90 \cdot 3^{2} + 8 (3) - 707)}{4 {(3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{3 (81 - 432 + 90 \cdot 9 + 8 (3) - 707)}{4 {(3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.5

Multipliez $90$ par $9$ .

$\frac{3 (81 - 432 + 810 + 8 (3) - 707)}{4 {(3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.6

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{3 (81 - 432 + 810 + 24 - 707)}{4 {(3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.7

Soustrayez $432$ de $81$ .

$\frac{3 (- 351 + 810 + 24 - 707)}{4 {(3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.8

Additionnez $- 351$ et $810$ .

$\frac{3 (459 + 24 - 707)}{4 {(3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.9

Additionnez $459$ et $24$ .

$\frac{3 (483 - 707)}{4 {(3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.10

Soustrayez $707$ de $483$ .

$\frac{3 \cdot - 224}{4 {(3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{3 \cdot - 224}{4 {(27 - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{3 \cdot - 224}{4 {(27 - 12 \cdot 9 + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $9$ .

$\frac{3 \cdot - 224}{4 {(27 - 108 + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.4

Multipliez $45$ par $3$ .

$\frac{3 \cdot - 224}{4 {(27 - 108 + 135 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.2

Soustrayez $108$ de $27$ .

$\frac{3 \cdot - 224}{4 {(- 81 + 135 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.3

Additionnez $- 81$ et $135$ .

$\frac{3 \cdot - 224}{4 {(54 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.4

Additionnez $54$ et $2$ .

$\frac{3 \cdot - 224}{4 \cdot 56^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 13.3.1

Multipliez $3$ par $- 224$ .

$\frac{- 672}{4 \cdot 56^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 672$ .

$\frac{4 \cdot - 168}{4 \cdot 56^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 56^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot - 168}{4 (56^{\frac{3}{2}})}$

Étape 13.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 168}{4 \cdot 56^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 168}{56^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{168}{56^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14

$x = 3$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 3$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 3$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \sqrt{{(3)}^{3} - 12 {(3)}^{2} + 45 (3) + 2}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (3) = \sqrt{27 - 12 {(3)}^{2} + 45 (3) + 2}$

Étape 15.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = \sqrt{27 - 12 \cdot 9 + 45 (3) + 2}$

Étape 15.2.3

Multipliez $- 12$ par $9$ .

$f (3) = \sqrt{27 - 108 + 45 (3) + 2}$

Étape 15.2.4

Multipliez $45$ par $3$ .

$f (3) = \sqrt{27 - 108 + 135 + 2}$

Étape 15.2.5

Soustrayez $108$ de $27$ .

$f (3) = \sqrt{- 81 + 135 + 2}$

Étape 15.2.6

Additionnez $- 81$ et $135$ .

$f (3) = \sqrt{54 + 2}$

Étape 15.2.7

Additionnez $54$ et $2$ .

$f (3) = \sqrt{56}$

Étape 15.2.8

Réécrivez $56$ comme $2^{2} \cdot 14$ .

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Étape 15.2.8.1

Factorisez $4$ à partir de $56$ .

$f (3) = \sqrt{4 (14)}$

Étape 15.2.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (3) = \sqrt{2^{2} \cdot 14}$

Étape 15.2.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (3) = 2 \sqrt{14}$

Étape 15.2.10

La réponse finale est $2 \sqrt{14}$ .

$y = 2 \sqrt{14}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \sqrt{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$ .

$(5, 2 \sqrt{13})$ est un minimum local

$(3, 2 \sqrt{14})$ est un maximum local

Étape 17