Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Étape 1

Écrivez $\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = 5 - 9 x$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 - 9 x$ .

$\frac{1}{7} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 - 9 x$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 9 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.5

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 9 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.10.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{- 1}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.12

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 9)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.13

Soustrayez $9$ de $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 9) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.14

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot - 9) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.15

Associez $\frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ et $- 9$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 9}{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.16

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 18 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.17

Placez ${(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 18}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.18

Factorisez $3$ à partir de $- 18$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.19.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 ({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.19.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.19.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{7} (- \frac{6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.21

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ et $0$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1.1

Comme $- \frac{6}{7}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{6}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 3.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ comme ${({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} {({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}$

Étape 3.1.2.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} {(5 - 9 x)}^{\frac{- 1}{3}}$

Étape 3.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ et $g (x) = 5 - 9 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 - 9 x$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 - 9 x$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 9 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 9 x)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Étape 3.6.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 9 x)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(5 - 9 x)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Étape 3.8

Associez ${(5 - 9 x)}^{- \frac{4}{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{{(5 - 9 x)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Étape 3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.9.1

Placez ${(5 - 9 x)}^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Étape 3.9.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{6}{7}) \cdot (\frac{1}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Étape 3.9.3

Multipliez $\frac{6}{7}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (\frac{1}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x))$

Étape 3.10

Multipliez $\frac{1}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}}$ par $\frac{6}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x)$

Étape 3.11

Multipliez $7$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{6}{21 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x)$

Étape 3.12

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2)}{21 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x)$

Étape 3.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.13.1

Factorisez $3$ à partir de $21 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2)}{3 (7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x)$

Étape 3.13.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x)$

Étape 3.13.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{2}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - 9 x)$

Étape 3.14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 9 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 9 x))$

Étape 3.15

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- 9 x))$

Étape 3.16

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Étape 3.17

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (- 9 \frac{d}{d x} x)$

Étape 3.18

Associez les fractions.

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Étape 3.18.1

Associez $- 9$ et $\frac{2}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 9 \cdot 2}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Étape 3.18.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.18.2.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 18}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Étape 3.18.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{18}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} x$

Étape 3.19

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{18}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Étape 3.20

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{18}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = 5 - 9 x$ .

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Étape 5.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 - 9 x$ .

$\frac{1}{7} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 - 9 x$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 9 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.5

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 9 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.10.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{- 1}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.12

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 9)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.13

Soustrayez $9$ de $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 9) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.14

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot - 9) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.15

Associez $\frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ et $- 9$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 9}{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.16

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 18 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.17

Placez ${(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 18}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.18

Factorisez $3$ à partir de $- 18$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.19

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.19.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 ({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.19.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.19.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{7} (- \frac{6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.21

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Étape 5.1.3.2

Additionnez $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ et $0$ .

$f' (x) = - \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$6 = 0$

Étape 6.3

Comme $6 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 7.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{6}{7 \sqrt[3]{{(5 - 9 x)}^{1}}}$

Étape 7.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- \frac{6}{7 \sqrt[3]{5 - 9 x}}$

Étape 7.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{6}{7 \sqrt[3]{5 - 9 x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$7 \sqrt[3]{5 - 9 x} = 0$

Étape 7.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(7 \sqrt[3]{5 - 9 x})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 7.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{5 - 9 x}$ comme ${(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1

Simplifiez ${(7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 7.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$7^{3} {({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.2

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$343 {({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 7.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$343 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$343 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$343 {(5 - 9 x)}^{1} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.4

Simplifiez

$343 (5 - 9 x) = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$343 \cdot 5 + 343 (- 9 x) = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.6

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.6.1

Multipliez $343$ par $5$ .

$1715 + 343 (- 9 x) = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.6.2

Multipliez $- 9$ par $343$ .

$1715 - 3087 x = 0^{3}$

Étape 7.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$1715 - 3087 x = 0$

Étape 7.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1

Soustrayez $1715$ des deux côtés de l’équation.

$- 3087 x = - 1715$

Étape 7.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- 3087 x = - 1715$ par $- 3087$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3087 x = - 1715$ par $- 3087$ .

$\frac{- 3087 x}{- 3087} = \frac{- 1715}{- 3087}$

Étape 7.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3087$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3087 x}{- 3087} = \frac{- 1715}{- 3087}$

Étape 7.3.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1715}{- 3087}$

Étape 7.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 1715$ et $- 3087$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.3.1.1

Factorisez $- 343$ à partir de $- 1715$ .

$x = \frac{- 343 (5)}{- 3087}$

Étape 7.3.3.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.3.1.2.1

Factorisez $- 343$ à partir de $- 3087$ .

$x = \frac{- 343 \cdot 5}{- 343 \cdot 9}$

Étape 7.3.3.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 343 \cdot 5}{- 343 \cdot 9}$

Étape 7.3.3.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{5}{9}$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{5}{9}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5}{9}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{18}{7 {(5 - 9 (\frac{5}{9}))}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 10.1.1.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$- \frac{18}{7 {(5 + 9 (- 1) \frac{5}{9})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{18}{7 {(5 + 9 \cdot - 1 \frac{5}{9})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{18}{7 {(5 - 1 \cdot 5)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- \frac{18}{7 {(5 - 5)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.2.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$- \frac{18}{7 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$- \frac{18}{7 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{18}{7 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 10.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{18}{7 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 10.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{18}{7 \cdot 0^{4}}$

Étape 10.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{18}{7 \cdot 0}$

Étape 10.2.4.2

Multipliez $7$ par $0$ .

$- \frac{18}{0}$

Étape 10.2.4.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{18}{0}$

Étape 10.2.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{18}{0}$

Étape 10.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 11

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{5}{9}) \cup (\frac{5}{9}, \infty)$

Étape 11.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, \frac{5}{9})$ dans la dérivée première $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = - \frac{6}{7 {(5 - 9 \cdot 0)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1.1

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$f' (0) = - \frac{6}{7 {(5 + 0)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.2.2.1.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$f' (0) = - \frac{6}{7 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.2.2.2

La réponse finale est $- \frac{6}{7 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{6}{7 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.3

Remplacez tout nombre, tel que $3$ , de l’intervalle $(\frac{5}{9}, \infty)$ dans la dérivée première $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = - \frac{6}{7 {(5 - 9 \cdot 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.2.1.1

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$f' (3) = - \frac{6}{7 {(5 - 27)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.3.2.1.2

Soustrayez $27$ de $5$ .

$f' (3) = - \frac{6}{7 {(- 22)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.3.2.2

La réponse finale est $- \frac{6}{7 {(- 22)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{6}{7 {(- 22)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.4

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{5}{9}$ , $x = \frac{5}{9}$ est un minimum local.

$x = \frac{5}{9}$ est un minimum local

Étape 12