Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{3} x^{3} - 5 x + 3$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{3} x^{3} - 5 x + 3$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 5 x + 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3} - 5 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$x^{2} - 5 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} - 5 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $x^{2} - 5$ et $0$ .

$x^{2} - 5$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 5)$

Étape 3.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 0$

Étape 3.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 x$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x^{2} - 5 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3} - 5 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 5.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 5.1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 5.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 5.1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$x^{2} - 5 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} - 5 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $x^{2} - 5$ et $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 5$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} - 5$ .

$x^{2} - 5$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} - 5 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 5$

Étape 6.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{5}$

Étape 6.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{5}$

Étape 6.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{5}$

Étape 6.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 (\sqrt{5})$

Étape 10

Multipliez $2$ par $\sqrt{5}$ .

$2 \sqrt{5}$

Étape 11

$x = \sqrt{5}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \sqrt{5}$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \sqrt{5}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{5}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{5}) = \frac{1}{3} \cdot {(\sqrt{5})}^{3} - 5 \sqrt{5} + 3$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{3}$ comme $\sqrt{5^{3}}$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{5^{3}} - 5 \sqrt{5} + 3$

Étape 12.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{125} - 5 \sqrt{5} + 3$

Étape 12.2.1.3

Réécrivez $125$ comme $5^{2} \cdot 5$ .

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Étape 12.2.1.3.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{25 (5)} - 5 \sqrt{5} + 3$

Étape 12.2.1.3.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 5} - 5 \sqrt{5} + 3$

Étape 12.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\sqrt{5}) = \frac{1}{3} \cdot (5 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{5} + 3$

Étape 12.2.1.5

Multipliez $\frac{1}{3} (5 \sqrt{5})$ .

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Étape 12.2.1.5.1

Associez $5$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{5}{3} \cdot \sqrt{5} - 5 \sqrt{5} + 3$

Étape 12.2.1.5.2

Associez $\frac{5}{3}$ et $\sqrt{5}$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{5 \sqrt{5}}{3} - 5 \sqrt{5} + 3$

Étape 12.2.2

Pour écrire $- 5 \sqrt{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{5 \sqrt{5}}{3} - 5 \sqrt{5} \cdot \frac{3}{3} + 3$

Étape 12.2.3

Associez les fractions.

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Étape 12.2.3.1

Associez $- 5 \sqrt{5}$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{5 \sqrt{5}}{3} + \frac{- 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3} + 3$

Étape 12.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\sqrt{5}) = \frac{5 \sqrt{5} - 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3} + 3$

Étape 12.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.4.1.1

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{5 \sqrt{5} - 15 \sqrt{5}}{3} + 3$

Étape 12.2.4.1.2

Soustrayez $15 \sqrt{5}$ de $5 \sqrt{5}$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 10 \sqrt{5}}{3} + 3$

Étape 12.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\sqrt{5}) = - \frac{10 \sqrt{5}}{3} + 3$

Étape 12.2.5

La réponse finale est $- \frac{10 \sqrt{5}}{3} + 3$ .

$y = - \frac{10 \sqrt{5}}{3} + 3$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \sqrt{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 (- \sqrt{5})$

Étape 14

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sqrt{5}$

Étape 15

$x = - \sqrt{5}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \sqrt{5}$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = - \sqrt{5}$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{5}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{5}) = \frac{1}{3} \cdot {(- \sqrt{5})}^{3} - 5 (- \sqrt{5}) + 3$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{5}$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}) - 5 (- \sqrt{5}) + 3$

Étape 16.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{1}{3} \cdot (- {\sqrt{5}}^{3}) - 5 (- \sqrt{5}) + 3$

Étape 16.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{3}$ comme $\sqrt{5^{3}}$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{5^{3}}) - 5 (- \sqrt{5}) + 3$

Étape 16.2.1.4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{125}) - 5 (- \sqrt{5}) + 3$

Étape 16.2.1.5

Réécrivez $125$ comme $5^{2} \cdot 5$ .

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Étape 16.2.1.5.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{25 (5)}) - 5 (- \sqrt{5}) + 3$

Étape 16.2.1.5.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{5^{2} \cdot 5}) - 5 (- \sqrt{5}) + 3$

Étape 16.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \sqrt{5}) = \frac{1}{3} \cdot (- (5 \sqrt{5})) - 5 (- \sqrt{5}) + 3$

Étape 16.2.1.7

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{1}{3} \cdot (- 5 \sqrt{5}) - 5 (- \sqrt{5}) + 3$

Étape 16.2.1.8

Multipliez $\frac{1}{3} (- 5 \sqrt{5})$ .

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Étape 16.2.1.8.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 5}{3} \cdot \sqrt{5} - 5 (- \sqrt{5}) + 3$

Étape 16.2.1.8.2

Associez $\frac{- 5}{3}$ et $\sqrt{5}$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 5 \sqrt{5}}{3} - 5 (- \sqrt{5}) + 3$

Étape 16.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{5 \sqrt{5}}{3} - 5 (- \sqrt{5}) + 3$

Étape 16.2.1.10

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} + 3$

Étape 16.2.2

Pour écrire $5 \sqrt{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} \cdot \frac{3}{3} + 3$

Étape 16.2.3

Associez les fractions.

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Étape 16.2.3.1

Associez $5 \sqrt{5}$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + \frac{5 \sqrt{5} \cdot 3}{3} + 3$

Étape 16.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3} + 3$

Étape 16.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.2.4.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 5 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5}}{3} + 3$

Étape 16.2.4.2

Additionnez $- 5 \sqrt{5}$ et $15 \sqrt{5}$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{10 \sqrt{5}}{3} + 3$

Étape 16.2.5

La réponse finale est $\frac{10 \sqrt{5}}{3} + 3$ .

$y = \frac{10 \sqrt{5}}{3} + 3$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 5 x + 3$ .

$(\sqrt{5}, - \frac{10 \sqrt{5}}{3} + 3)$ est un minimum local

$(- \sqrt{5}, \frac{10 \sqrt{5}}{3} + 3)$ est un maximum local

Étape 18