Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{16 x^{2} + 25}{x}$

Étape 1

Écrivez $\frac{16 x^{2} + 25}{x}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{16 x^{2} + 25}{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 16 x^{2} + 25$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 25] - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 x^{2} + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2.2

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{2}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{x (32 x + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2.5

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (32 x + 0) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2.6

Additionnez $32 x$ et $0$ .

$\frac{x (32 x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x^{1}) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{32 x^{1 + 1} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25)}{x^{2}}$

Étape 2.9

Simplifiez

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Étape 2.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2}) - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Étape 2.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.9.2.1.1

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Étape 2.9.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Étape 2.9.2.2

Soustrayez $16 x^{2}$ de $32 x^{2}$ .

$\frac{16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Étape 2.9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.3.1

Réécrivez $16 x^{2}$ comme ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 25}{x^{2}}$

Étape 2.9.3.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

Étape 2.9.3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4 x$ et $b = 5$ .

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((4 x + 5) (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((4 x + 5) (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((4 x + 5) (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 4 x + 5$ et $g (x) = 4 x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) \frac{d}{d x} (4 x - 5) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 + 0) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) \cdot 4 + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $4 x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 \cdot (4 x + 5) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.8

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.10

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.11

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 + 0)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.12.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) \cdot 4) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.12.2

Déplacez $4$ à gauche de $4 x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 \cdot (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.4.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 3.4.14

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.4.14.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x}{x^{4}}$

Étape 3.4.14.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x$ .

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Étape 3.4.14.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x}{x^{4}}$

Étape 3.4.14.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))) + x (- 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x^{4}}$

Étape 3.4.14.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))) + x (- 2 (4 x + 5) (4 x - 5))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x^{4}}$

Étape 3.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 3.5.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x) + 4 \cdot 5 + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Étape 3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x) + 4 \cdot 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Étape 3.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x)) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Étape 3.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x)) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Étape 3.6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{4 \cdot (4 x \cdot x) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.5.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot (4 (x \cdot x)) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot (4 x^{2}) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.4

Multipliez $4$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + x \cdot 20 + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.5

Déplacez $20$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 \cdot x + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 4 \cdot (4 x \cdot x) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.5.1.7.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 4 \cdot (4 (x \cdot x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 4 \cdot (4 x^{2}) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.8

Multipliez $4$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.9

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} + x \cdot - 20 + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.10

Déplacez $- 20$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 \cdot x + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.5.1.11.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x + (- 8 x - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.11.2

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x + (- 8 x - 10) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.12

Développez $(- 8 x - 10) (4 x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.6.5.1.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 x (4 x - 5) - 10 (4 x - 5)}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x - 5)}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.6.5.1.13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.5.1.13.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 \cdot (4 x \cdot x) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.13.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.5.1.13.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 \cdot (4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.13.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 \cdot (4 x^{2}) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.13.1.3

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.13.1.4

Multipliez $- 5$ par $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 40 x - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.13.1.5

Multipliez $4$ par $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 40 x - 40 x - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.13.1.6

Multipliez $- 10$ par $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 40 x - 40 x + 50}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.13.2

Soustrayez $40 x$ de $40 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 0 + 50}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.1.13.3

Additionnez $- 32 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.2

Associez les termes opposés dans $16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 50$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.5.2.1

Soustrayez $20 x$ de $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 16 x^{2} + 0 - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.2.2

Additionnez $16 x^{2} + 16 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 16 x^{2} - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.3

Additionnez $16 x^{2}$ et $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{32 x^{2} - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.4

Soustrayez $32 x^{2}$ de $32 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 50}{x^{3}}$

Étape 3.6.5.5

Additionnez $0$ et $50$ .

$f'' (x) = \frac{50}{x^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 25] - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 x^{2} + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.2.2

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{2}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.2.4

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{x (32 x + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.2.5

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (32 x + 0) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.2.6

Additionnez $32 x$ et $0$ .

$\frac{x (32 x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x^{1}) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{32 x^{1 + 1} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 5.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25)}{x^{2}}$

Étape 5.1.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2}) - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Étape 5.1.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.9.2.1.1

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Étape 5.1.9.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Étape 5.1.9.2.2

Soustrayez $16 x^{2}$ de $32 x^{2}$ .

$\frac{16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Étape 5.1.9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.9.3.1

Réécrivez $16 x^{2}$ comme ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 25}{x^{2}}$

Étape 5.1.9.3.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

Étape 5.1.9.3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4 x$ et $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$ .

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(4 x + 5) (4 x - 5) = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 x + 5 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Étape 6.3.2

Définissez $4 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.2.1

Définissez $4 x + 5$ égal à $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Étape 6.3.2.2

Résolvez $4 x + 5 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 5$

Étape 6.3.2.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 5$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 5$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Étape 6.3.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Étape 6.3.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Étape 6.3.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{4}$

Étape 6.3.3

Définissez $4 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Définissez $4 x - 5$ égal à $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Étape 6.3.3.2

Résolvez $4 x - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 5$

Étape 6.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 5$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 5$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Étape 6.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Étape 6.3.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Étape 6.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 x + 5) (4 x - 5) = 0$ vraie.

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5}{4}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 7.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 7.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 7.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5}{4}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{5}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{50}{{(- \frac{5}{4})}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{4}$ .

$\frac{50}{{(- 1)}^{3} {(\frac{5}{4})}^{3}}$

Étape 10.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{50}{- {(\frac{5}{4})}^{3}}$

Étape 10.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{4}$ .

$\frac{50}{- \frac{5^{3}}{4^{3}}}$

Étape 10.1.4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{50}{- \frac{125}{4^{3}}}$

Étape 10.1.5

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{50}{- \frac{125}{64}}$

Étape 10.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$50 (- \frac{64}{125})$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun de $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{64}{125}$ dans le numérateur.

$50 (\frac{- 64}{125})$

Étape 10.3.2

Factorisez $25$ à partir de $50$ .

$25 (2) \frac{- 64}{125}$

Étape 10.3.3

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$25 \cdot 2 \frac{- 64}{25 \cdot 5}$

Étape 10.3.4

Annulez le facteur commun.

$25 \cdot 2 \frac{- 64}{25 \cdot 5}$

Étape 10.3.5

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{- 64}{5})$

Étape 10.4

Associez $2$ et $\frac{- 64}{5}$ .

$\frac{2 \cdot - 64}{5}$

Étape 10.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.1

Multipliez $2$ par $- 64$ .

$\frac{- 128}{5}$

Étape 10.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{128}{5}$

Étape 11

$x = - \frac{5}{4}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{5}{4}$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{5}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{5}{4}$ dans l’expression.

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{16 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 25}{- \frac{5}{4}}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{5}{4}) = (16 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 25) (- \frac{4}{5})$

Étape 12.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Étape 12.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 25) (- \frac{4}{5})$

Étape 12.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (1 (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 25) (- \frac{4}{5})$

Étape 12.2.2.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{4^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Étape 12.2.2.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{4^{2}}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Étape 12.2.2.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Étape 12.2.2.6

Annulez le facteur commun de $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Étape 12.2.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{5}{4}) = (25 + 25) (- \frac{4}{5})$

Étape 12.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.3.1

Additionnez $25$ et $25$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 50 (- \frac{4}{5})$

Étape 12.2.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{5}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{5}{4}) = 50 (\frac{- 4}{5})$

Étape 12.2.3.2.2

Factorisez $5$ à partir de $50$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 5 (10) (\frac{- 4}{5})$

Étape 12.2.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{5}{4}) = 5 \cdot (10 (\frac{- 4}{5}))$

Étape 12.2.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{5}{4}) = 10 \cdot - 4$

Étape 12.2.3.3

Multipliez $10$ par $- 4$ .

$f (- \frac{5}{4}) = - 40$

Étape 12.2.4

La réponse finale est $- 40$ .

$y = - 40$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{50}{{(\frac{5}{4})}^{3}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{4}$ .

$\frac{50}{\frac{5^{3}}{4^{3}}}$

Étape 14.1.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{50}{\frac{125}{4^{3}}}$

Étape 14.1.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{50}{\frac{125}{64}}$

Étape 14.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$50 (\frac{64}{125})$

Étape 14.3

Annulez le facteur commun de $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

Factorisez $25$ à partir de $50$ .

$25 (2) \frac{64}{125}$

Étape 14.3.2

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$25 \cdot 2 \frac{64}{25 \cdot 5}$

Étape 14.3.3

Annulez le facteur commun.

$25 \cdot 2 \frac{64}{25 \cdot 5}$

Étape 14.3.4

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{64}{5})$

Étape 14.4

Associez $2$ et $\frac{64}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 64}{5}$

Étape 14.5

Multipliez $2$ par $64$ .

$\frac{128}{5}$

Étape 15

$x = \frac{5}{4}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5}{4}$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{5}{4}) = \frac{16 {(\frac{5}{4})}^{2} + 25}{\frac{5}{4}}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{5}{4}) = (16 {(\frac{5}{4})}^{2} + 25) (\frac{4}{5})$

Étape 16.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{4}$ .

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 25) (\frac{4}{5})$

Étape 16.2.2.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{4^{2}}) + 25) (\frac{4}{5})$

Étape 16.2.2.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (\frac{4}{5})$

Étape 16.2.2.4

Annulez le facteur commun de $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (\frac{4}{5})$

Étape 16.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{4}) = (25 + 25) (\frac{4}{5})$

Étape 16.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.3.1

Additionnez $25$ et $25$ .

$f (\frac{5}{4}) = 50 (\frac{4}{5})$

Étape 16.2.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $50$ .

$f (\frac{5}{4}) = 5 (10) (\frac{4}{5})$

Étape 16.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{4}) = 5 \cdot (10 (\frac{4}{5}))$

Étape 16.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cdot 4$

Étape 16.2.3.3

Multipliez $10$ par $4$ .

$f (\frac{5}{4}) = 40$

Étape 16.2.4

La réponse finale est $40$ .

$y = 40$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{16 x^{2} + 25}{x}$ .

$(- \frac{5}{4}, - 40)$ est un maximum local

$(\frac{5}{4}, 40)$ est un minimum local

Étape 18