Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3 e^{x}}{x^{3}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{3 e^{x}}{x^{3}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{3 e^{x}}{x^{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 e^{x}}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{3}$ .

$3 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$3 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 \frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 \frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Étape 2.5.2

Associez les fractions.

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Étape 2.5.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$3 \frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Étape 2.5.2.2

Associez $3$ et $\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$ .

$\frac{3 (x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (x^{3} e^{x}) + 3 (- 3 e^{x} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.2.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{3 x^{3} e^{x} - 9 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Étape 2.6.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 x^{3} e^{x} - 9 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} e^{x} - 9 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

Étape 2.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 e^{x} x^{3} - 9 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Étape 2.6.4

Factorisez $3 e^{x} x^{2}$ à partir de $3 e^{x} x^{3} - 9 e^{x} x^{2}$ .

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Étape 2.6.4.1

Factorisez $3 e^{x} x^{2}$ à partir de $3 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{2} (x) - 9 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Étape 2.6.4.2

Factorisez $3 e^{x} x^{2}$ à partir de $- 9 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{2} (x) + 3 e^{x} x^{2} (- 3)}{x^{6}}$

Étape 2.6.4.3

Factorisez $3 e^{x} x^{2}$ à partir de $3 e^{x} x^{2} (x) + 3 e^{x} x^{2} (- 3)$ .

$\frac{3 e^{x} x^{2} (x - 3)}{x^{6}}$

Étape 2.6.5

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{6}$ .

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Étape 2.6.5.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 e^{x} x^{2} (x - 3)$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

Étape 2.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.5.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 2.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (3 e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 2.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}})$

Étape 3.2

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}})$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}})$

Étape 3.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x - 3$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Étape 3.5.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Étape 3.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Étape 3.5.4.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.7.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - e^{x} (x - 3) (4 x^{3})}{x^{8}})$

Étape 3.7.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.7.2.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}}{x^{8}})$

Étape 3.7.2.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}$ .

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Étape 3.7.2.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x})$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}}{x^{8}})$

Étape 3.7.2.2.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 4 e^{x} (x - 3) x^{3}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) + x^{3} (- 4 e^{x} (x - 3))}{x^{8}})$

Étape 3.7.2.2.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) + x^{3} (- 4 e^{x} (x - 3))$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{8}})$

Étape 3.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.8.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{8}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{3} x^{5}})$

Étape 3.8.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{3} x^{5}})$

Étape 3.8.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 3 (\frac{x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}})$

Étape 3.9

Associez $3$ et $\frac{x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{5}}$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (x (e^{x} + x e^{x} - 3 e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{5}}$

Étape 3.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{5}}$

Étape 3.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3)}{x^{5}}$

Étape 3.10.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (x e^{x}) + 3 (x (x e^{x})) + 3 (x (- 3 e^{x})) + 3 (- 4 e^{x} x) + 3 (- 4 e^{x} \cdot - 3)}{x^{5}}$

Étape 3.10.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.10.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.10.5.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 x e^{x} + 3 (x \cdot x e^{x}) + 3 (x (- 3 e^{x})) + 3 (- 4 e^{x} x) + 3 (- 4 e^{x} \cdot - 3)}{x^{5}}$

Étape 3.10.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 x e^{x} + 3 (x^{2} e^{x}) + 3 (x (- 3 e^{x})) + 3 (- 4 e^{x} x) + 3 (- 4 e^{x} \cdot - 3)}{x^{5}}$

Étape 3.10.5.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 (- 3 x e^{x}) + 3 (- 4 e^{x} x) + 3 (- 4 e^{x} \cdot - 3)}{x^{5}}$

Étape 3.10.5.1.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 9 (x e^{x}) + 3 (- 4 e^{x} x) + 3 (- 4 e^{x} \cdot - 3)}{x^{5}}$

Étape 3.10.5.1.4

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} - 12 (e^{x} x) + 3 (- 4 e^{x} \cdot - 3)}{x^{5}}$

Étape 3.10.5.1.5

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} - 12 e^{x} x + 3 (12 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 3.10.5.1.6

Multipliez $12$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} - 12 e^{x} x + 36 e^{x}}{x^{5}}$

Étape 3.10.5.2

Soustrayez $9 x e^{x}$ de $3 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 12 e^{x} x + 36 e^{x}}{x^{5}}$

Étape 3.10.5.3

Soustrayez $12 e^{x} x$ de $- 6 x e^{x}$ .

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Étape 3.10.5.3.1

Déplacez $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x e^{x} - 12 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 36 e^{x}}{x^{5}}$

Étape 3.10.5.3.2

Soustrayez $12 x e^{x}$ de $- 6 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 18 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 36 e^{x}}{x^{5}}$

Étape 3.10.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{- 18 e^{x} x + 3 e^{x} x^{2} + 36 e^{x}}{x^{5}}$

Étape 3.10.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.7.1

Factorisez $3 e^{x}$ à partir de $- 18 e^{x} x + 3 e^{x} x^{2} + 36 e^{x}$ .

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Étape 3.10.7.1.1

Factorisez $3 e^{x}$ à partir de $- 18 e^{x} x$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (- 6 x) + 3 e^{x} x^{2} + 36 e^{x}}{x^{5}}$

Étape 3.10.7.1.2

Factorisez $3 e^{x}$ à partir de $3 e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (- 6 x) + 3 e^{x} (x^{2}) + 36 e^{x}}{x^{5}}$

Étape 3.10.7.1.3

Factorisez $3 e^{x}$ à partir de $36 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (- 6 x) + 3 e^{x} (x^{2}) + 3 e^{x} (12)}{x^{5}}$

Étape 3.10.7.1.4

Factorisez $3 e^{x}$ à partir de $3 e^{x} (- 6 x) + 3 e^{x} (x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (- 6 x + x^{2}) + 3 e^{x} (12)}{x^{5}}$

Étape 3.10.7.1.5

Factorisez $3 e^{x}$ à partir de $3 e^{x} (- 6 x + x^{2}) + 3 e^{x} (12)$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (- 6 x + x^{2} + 12)}{x^{5}}$

Étape 3.10.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (x^{2} - 6 x + 12)}{x^{5}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 e^{x}}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{3}}]$

Étape 5.1.2

$3 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 5.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 5.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Étape 5.1.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$3 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 \frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 5.1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 \frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Étape 5.1.5.2

Associez les fractions.

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Étape 5.1.5.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$3 \frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Étape 5.1.5.2.2

Associez $3$ et $\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$ .

$\frac{3 (x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 5.1.6

Simplifiez

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Étape 5.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (x^{3} e^{x}) + 3 (- 3 e^{x} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 5.1.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.6.2.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{3 x^{3} e^{x} - 9 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Étape 5.1.6.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 x^{3} e^{x} - 9 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} e^{x} - 9 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

Étape 5.1.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 e^{x} x^{3} - 9 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Étape 5.1.6.4

Factorisez $3 e^{x} x^{2}$ à partir de $3 e^{x} x^{3} - 9 e^{x} x^{2}$ .

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Étape 5.1.6.4.1

Factorisez $3 e^{x} x^{2}$ à partir de $3 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{2} (x) - 9 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Étape 5.1.6.4.2

Factorisez $3 e^{x} x^{2}$ à partir de $- 9 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{2} (x) + 3 e^{x} x^{2} (- 3)}{x^{6}}$

Étape 5.1.6.4.3

Factorisez $3 e^{x} x^{2}$ à partir de $3 e^{x} x^{2} (x) + 3 e^{x} x^{2} (- 3)$ .

$\frac{3 e^{x} x^{2} (x - 3)}{x^{6}}$

Étape 5.1.6.5

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{6}$ .

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Étape 5.1.6.5.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 e^{x} x^{2} (x - 3)$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

Étape 5.1.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.6.5.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 5.1.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (3 e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 5.1.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$ .

$\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 e^{x} (x - 3) = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 6.3.2

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.2.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 6.3.2.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.3.2.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 6.3.2.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 6.3.2.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 6.3.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 6.3.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 e^{x} (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 3$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{4} = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Étape 7.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Étape 7.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Étape 7.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 7.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 3$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{3 e^{3} ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 12)}{{(3)}^{5}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun à $3$ et ${(3)}^{5}$ .

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Étape 10.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 e^{3} ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 12)$ .

$\frac{3 (e^{3} ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 12))}{{(3)}^{5}}$

Étape 10.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de ${(3)}^{5}$ .

$\frac{3 (e^{3} ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 12))}{3 \cdot 3^{4}}$

Étape 10.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (e^{3} ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 12))}{3 \cdot 3^{4}}$

Étape 10.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{3} ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 12)}{3^{4}}$

Étape 10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{e^{3} (9 - 6 \cdot 3 + 12)}{3^{4}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$\frac{e^{3} (9 - 18 + 12)}{3^{4}}$

Étape 10.2.3

Soustrayez $18$ de $9$ .

$\frac{e^{3} (- 9 + 12)}{3^{4}}$

Étape 10.2.4

Additionnez $- 9$ et $12$ .

$\frac{e^{3} \cdot 3}{3^{4}}$

Étape 10.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.3.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{e^{3} \cdot 3}{81}$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun à $3$ et $81$ .

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $e^{3} \cdot 3$ .

$\frac{3 \cdot e^{3}}{81}$

Étape 10.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$\frac{3 \cdot e^{3}}{3 \cdot 27}$

Étape 10.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot e^{3}}{3 \cdot 27}$

Étape 10.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{3}}{27}$

Étape 11

$x = 3$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 3$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 3$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \frac{3 e^{3}}{{(3)}^{3}}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Annulez le facteur commun à $3$ et ${(3)}^{3}$ .

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Étape 12.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 e^{3}$ .

$f (3) = \frac{3 (e^{3})}{{(3)}^{3}}$

Étape 12.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de ${(3)}^{3}$ .

$f (3) = \frac{3 (e^{3})}{3 \cdot 3^{2}}$

Étape 12.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (3) = \frac{3 e^{3}}{3 \cdot 3^{2}}$

Étape 12.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (3) = \frac{e^{3}}{3^{2}}$

Étape 12.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = \frac{e^{3}}{9}$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $\frac{e^{3}}{9}$ .

$y = \frac{e^{3}}{9}$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{3 e^{x}}{x^{3}}$ .

$(3, \frac{e^{3}}{9})$ est un minimum local

Étape 14