Calcul infinitésimal Exemples

$(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{(\frac{8}{3})} + 4 {(x - 2)}^{(\frac{2}{3})}$

Étape 1

Écrivez $(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{(\frac{8}{3})} + 4 {(x - 2)}^{(\frac{2}{3})}$ comme une fonction.

$f (x) = (- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{(\frac{8}{3})} + 4 {(x - 2)}^{(\frac{2}{3})}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ .

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Étape 2.2.1

Associez ${(x - 2)}^{\frac{8}{3}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2.2

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{8}{3}}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x - 2$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{8}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{8}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {u_{1}}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 2$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2.10.2

Soustrayez $3$ de $8$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2.12

Associez $\frac{8}{3}$ et ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2.13

Multipliez $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ par $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2.14

Multipliez $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2.15

Multipliez $3$ par $4$ .

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2.16

Factorisez $4$ à partir de $8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2.17

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.17.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 (3)} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2.17.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2.17.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x - 2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Étape 2.3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Étape 2.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Étape 2.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Étape 2.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Étape 2.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

Étape 2.3.9.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

Étape 2.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

Étape 2.3.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1)$

Étape 2.3.12

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1)$

Étape 2.3.13

Multipliez $\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ par $1$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 2.3.14

Placez ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.3.15

Associez $4$ et $\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.3.16

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Associez des termes.

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Étape 2.4.1.1

Pour écrire $- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $\frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ par $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.1.4

Multipliez ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ par ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1.4.1

Déplacez ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.1.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1 + 5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.1.4.4

Additionnez $1$ et $5$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{6}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.1.4.5

Divisez $6$ par $3$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 {(x - 2)}^{2} + 8$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 2^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.2.3

Remettez dans l’ordre $- {(x - 2)}^{2}$ et $2^{2}$ .

$\frac{2 (2^{2} - {(x - 2)}^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.2.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x - 2$ .

$\frac{2 ((2 + x - 2) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.2.5

Simplifiez

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Étape 2.4.2.5.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{2 ((x + 0) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.2.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{2 (x (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x (2 - x - - 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.2.5.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{2 (x (2 - x + 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.2.5.5

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{2 (x (- x + 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{2 x (- x + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.4

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 x (- (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.6

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $- \frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 x (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x (x - 4)$ et $g (x) = {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x (x - 4)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x (x - 4)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x (x - 4)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.5.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.5.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x + (x - 4) \cdot 1) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.5.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.5.6.1

Multipliez $x - 4$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x + x - 4) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.5.6.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.8

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.10.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11

Associez les fractions.

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Étape 3.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{{(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.3

Placez ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11.4

Associez $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot ((x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot ((x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.14

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot ((x - 4) (1 + 0))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.15

Associez les fractions.

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Étape 3.15.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.15.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.15.3

Multipliez $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4)) \cdot 2}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}$

Étape 3.15.4

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.15.4.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}$

Étape 3.15.4.2

Déplacez $3$ à gauche de ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16

Simplifiez

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Étape 3.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.16.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4))$ .

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Étape 3.16.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4))$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot - 4 - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot - 4 - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.4

Déplacez $- 4$ à gauche de ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.6

Multipliez $- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} x$ .

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Étape 3.16.2.6.1

Associez $x$ et $\frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x \cdot x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.6.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 3.16.2.6.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 3.16.2.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{1 + 1}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.7

Multipliez $- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4$ .

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Étape 3.16.2.7.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 4 (\frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.7.2

Associez $4$ et $\frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.8

Soustrayez $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ de $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$ .

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Étape 3.16.2.8.1

Déplacez ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.8.2

Pour écrire $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.8.3

Associez $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.9

Pour écrire $- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.10

Associez $- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.16.2.13.1

Multipliez ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.16.2.13.1.1

Déplacez ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.1.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.1.5

Divisez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x (x - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.2

Simplifiez $2 x {(x - 2)}^{1} \cdot 3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x (x - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.16.2.13.4.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 x^{2} + 2 x \cdot - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.5

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 x^{2} - 4 x) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.6

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x^{2} \cdot 3 - 4 x \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.7

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 4 x \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.8

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.10

Multipliez ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.16.2.13.10.1

Déplacez ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.10.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.10.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.10.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.10.5

Divisez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 (x - 2)) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.11

Simplifiez $- 4 \cdot 3 {(x - 2)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 (x - 2)) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.12

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 12 (x - 2) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.13

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 12 x - 12 \cdot - 2 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.13.14

Multipliez $- 12$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 12 x + 24 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.14

Soustrayez $x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{5 x^{2} - 12 x - 12 x + 24 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.15

Soustrayez $12 x$ de $- 12 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{5 x^{2} - 24 x + 24 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.2.16

Additionnez $- 24 x$ et $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{5 x^{2} - 20 x + 24}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.3

Associez des termes.

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Étape 3.16.3.1

Associez $2$ et $\frac{5 x^{2} - 20 x + 24}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.3.2

Réécrivez $\frac{\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ comme un produit.

$f'' (x) = - (\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 3.16.3.3

Multipliez $\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}$

Étape 3.16.3.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.3.5

Multipliez ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ par ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.16.3.5.1

Déplacez ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}$

Étape 3.16.3.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Étape 3.16.3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Étape 3.16.3.5.4

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Associez ${(x - 2)}^{\frac{8}{3}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2.2

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{8}{3}}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 5.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x - 2$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{8}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{8}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {u_{1}}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 2$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2.10.2

Soustrayez $3$ de $8$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2.12

Associez $\frac{8}{3}$ et ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2.13

Multipliez $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ par $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2.14

Multipliez $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2.15

Multipliez $3$ par $4$ .

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2.16

Factorisez $4$ à partir de $8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2.17

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.2.17.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 (3)} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2.17.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.2.17.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 5.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x - 2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Étape 5.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Étape 5.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Étape 5.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Étape 5.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Étape 5.1.3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Étape 5.1.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Étape 5.1.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Étape 5.1.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Étape 5.1.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

Étape 5.1.3.9.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

Étape 5.1.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

Étape 5.1.3.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1)$

Étape 5.1.3.12

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1)$

Étape 5.1.3.13

Multipliez $\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ par $1$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 5.1.3.14

Placez ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.3.15

Associez $4$ et $\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.3.16

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1.1

Pour écrire $- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.1.2

Multipliez $\frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ par $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.1.4

Multipliez ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ par ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.4.1.4.1

Déplacez ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.1.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1 + 5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.1.4.4

Additionnez $1$ et $5$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{6}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.1.4.5

Divisez $6$ par $3$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 {(x - 2)}^{2} + 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 2^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.2.3

Remettez dans l’ordre $- {(x - 2)}^{2}$ et $2^{2}$ .

$\frac{2 (2^{2} - {(x - 2)}^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.2.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x - 2$ .

$\frac{2 ((2 + x - 2) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.2.5

Simplifiez

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Étape 5.1.4.2.5.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{2 ((x + 0) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.2.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{2 (x (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x (2 - x - - 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.2.5.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{2 (x (2 - x + 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.2.5.5

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{2 (x (- x + 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{2 x (- x + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.4

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 x (- (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.6

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.1.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x (x - 4) = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 6.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.3.3

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 6.3.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 6.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 4$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 7.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{1}}}$

Étape 7.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 \sqrt[3]{x - 2}}$

Étape 7.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{(2 x) (x - 4)}{3 \sqrt[3]{x - 2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{x - 2} = 0$

Étape 7.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{x - 2})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x - 2}$ comme ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 {(x - 2)}^{1} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.4

Simplifiez

$27 (x - 2) = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$27 x + 27 \cdot - 2 = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.6

Multipliez $27$ par $- 2$ .

$27 x - 54 = 0^{3}$

Étape 7.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 x - 54 = 0$

Étape 7.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1

Ajoutez $54$ aux deux côtés de l’équation.

$27 x = 54$

Étape 7.3.3.2

Divisez chaque terme dans $27 x = 54$ par $27$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $27 x = 54$ par $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{54}{27}$

Étape 7.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x}{27} = \frac{54}{27}$

Étape 7.3.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{54}{27}$

Étape 7.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.3.1

Divisez $54$ par $27$ .

$x = 2$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 4, 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2 (5 {(0)}^{2} - 20 \cdot 0 + 24)}{9 {((0) - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (5 \cdot 0 - 20 \cdot 0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.1.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$- \frac{2 (0 - 20 \cdot 0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.1.3

Multipliez $- 20$ par $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.1.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$- \frac{2 (0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.1.5

Additionnez $0$ et $24$ .

$- \frac{2 \cdot 24}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.2

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- \frac{2 \cdot 24}{9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $2$ par $24$ .

$- \frac{48}{9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.2.3

Factorisez $3$ à partir de $48$ .

$- \frac{3 (16)}{9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.3

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Factorisez $3$ à partir de $9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{3 (16)}{3 (3 {(- 2)}^{\frac{4}{3}})}$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 \cdot 16}{3 (3 {(- 2)}^{\frac{4}{3}})}$

Étape 10.3.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{16}{3 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 11

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = (- \frac{1}{4}) {((0) - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {((0) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {((0) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 12.2.1.2

Associez ${(- 2)}^{\frac{8}{3}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {((0) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 12.2.1.3

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 12.2.2

Pour écrire $4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 12.2.3

Associez $4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + \frac{4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}{4}$

Étape 12.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (0) = \frac{- {(- 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}{4}$

Étape 12.2.4.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (0) = \frac{- {(- 2)}^{\frac{8}{3}} + 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

Étape 12.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- {(- 2)}^{\frac{8}{3}}$ .

$f (0) = \frac{- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}}) + 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

Étape 12.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f (0) = \frac{- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}}) - (- 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})}{4}$

Étape 12.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}}) - (- 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})$ .

$f (0) = \frac{- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})}{4}$

Étape 12.2.8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.8.1

Réécrivez $- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})$ comme $- 1 ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})$ .

$f (0) = \frac{- 1 ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})}{4}$

Étape 12.2.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

Étape 12.2.9

La réponse finale est $- \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$ .

$y = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2 (5 {(4)}^{2} - 20 \cdot 4 + 24)}{9 {((4) - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 (5 \cdot 16 - 20 \cdot 4 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 14.1.2

Multipliez $5$ par $16$ .

$- \frac{2 (80 - 20 \cdot 4 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 14.1.3

Multipliez $- 20$ par $4$ .

$- \frac{2 (80 - 80 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 14.1.4

Soustrayez $80$ de $80$ .

$- \frac{2 (0 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 14.1.5

Additionnez $0$ et $24$ .

$- \frac{2 \cdot 24}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 14.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 14.2.1

Soustrayez $2$ de $4$ .

$- \frac{2 \cdot 24}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Étape 14.2.2

Multipliez $2$ par $24$ .

$- \frac{48}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Étape 14.2.3

Factorisez $3$ à partir de $48$ .

$- \frac{3 (16)}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Étape 14.3

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

Factorisez $3$ à partir de $9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{3 (16)}{3 (3 \cdot 2^{\frac{4}{3}})}$

Étape 14.3.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 \cdot 16}{3 (3 \cdot 2^{\frac{4}{3}})}$

Étape 14.3.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{16}{3 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Étape 15

$x = 4$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 4$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = (- \frac{1}{4}) {((4) - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.1

Soustrayez $2$ de $4$ .

$f (4) = - \frac{1}{4} \cdot 2^{\frac{8}{3}} + 4 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 16.2.1.2

Associez $2^{\frac{8}{3}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 16.2.1.3

Soustrayez $2$ de $4$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Étape 16.2.1.4

Multipliez $4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Étape 16.2.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{2 + \frac{2}{3}}$

Étape 16.2.1.4.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}$

Étape 16.2.1.4.4

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}}$

Étape 16.2.1.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}}$

Étape 16.2.1.4.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.4.6.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{6 + 2}{3}}$

Étape 16.2.1.4.6.2

Additionnez $6$ et $2$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{8}{3}}$

Étape 16.2.2

Pour écrire $2^{\frac{8}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{8}{3}} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 16.2.3

Associez $2^{\frac{8}{3}}$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{8}{3}} \cdot 4}{4}$

Étape 16.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3}} \cdot 4}{4}$

Étape 16.2.5

Multipliez $2^{\frac{8}{3}} \cdot 4$ .

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Étape 16.2.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3}} \cdot 2^{2}}{4}$

Étape 16.2.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3} + 2}}{4}$

Étape 16.2.5.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}{4}$

Étape 16.2.5.4

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}{4}$

Étape 16.2.5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8 + 2 \cdot 3}{3}}}{4}$

Étape 16.2.5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.2.5.6.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8 + 6}{3}}}{4}$

Étape 16.2.5.6.2

Additionnez $8$ et $6$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

Étape 16.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2^{\frac{8}{3}}$ .

$f (4) = \frac{- (2^{\frac{8}{3}}) + 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

Étape 16.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $2^{\frac{14}{3}}$ .

$f (4) = \frac{- (2^{\frac{8}{3}}) - 1 (- 2^{\frac{14}{3}})}{4}$

Étape 16.2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2^{\frac{8}{3}}) - 1 (- 2^{\frac{14}{3}})$ .

$f (4) = \frac{- (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})}{4}$

Étape 16.2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 16.2.9.1

Réécrivez $- (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})$ comme $- 1 (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})$ .

$f (4) = \frac{- 1 (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})}{4}$

Étape 16.2.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

Étape 16.2.10

La réponse finale est $- \frac{2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}}}{4}$ .

$y = - \frac{2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 {((2) - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 18.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 18.1.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18.1.2

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 18.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 18.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 18.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{4}}$

Étape 18.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 18.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0}$

Étape 18.3.2

Multipliez $9$ par $0$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{0}$

Étape 18.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{0}$

Étape 18.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 19

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 19.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 19.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 19.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - \frac{(2 (- 2)) ((- 2) - 4)}{3 {((- 2) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 (- 2 - 4)}{3 {(- 2 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.2.2.1.2

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 (- 2 - 4)}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.2.2.1.3

Soustrayez $4$ de $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 \cdot - 6}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.2.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$f' (- 2) = - \frac{24}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.2.2.2

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

$f' (- 2) = - \frac{3 \cdot 8}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.2.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (- 2) = - \frac{3 \cdot 8}{3 ({(- 4)}^{\frac{1}{3}})}$

Étape 19.2.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- 2) = - \frac{3 \cdot 8}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.2.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- 2) = - \frac{8}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.2.2.4

La réponse finale est $- \frac{8}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{8}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.3

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée première $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 19.3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - \frac{(2 (1)) ((1) - 4)}{3 {((1) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(1 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 19.3.2.2.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.3.2.2.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.3.2.2.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Étape 19.3.2.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 19.3.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Étape 19.3.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 (- 1)}$

Étape 19.3.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 \cdot - 1}$

Étape 19.3.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 19.3.2.3.1

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 3}{3 \cdot - 1}$

Étape 19.3.2.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 3}{- 3}$

Étape 19.3.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f' (1) = - \frac{- 6}{- 3}$

Étape 19.3.2.3.4

Divisez $- 6$ par $- 3$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Étape 19.3.2.3.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (1) = - 2$

Étape 19.3.2.4

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 19.4

Remplacez tout nombre, tel que $3$ , de l’intervalle $(2, 4)$ dans la dérivée première $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = - \frac{(2 (3)) ((3) - 4)}{3 {((3) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.4.2.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 19.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (3) = - \frac{2 \cdot (3 ((3) - 4))}{3 {((3) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f' (3) = - \frac{(2) ((3) - 4)}{{((3) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.4.2.1.3

Soustrayez $4$ de $3$ .

$f' (3) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(3 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 19.4.2.2.1

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f' (3) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.4.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (3) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Étape 19.4.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 19.4.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (3) = - \frac{- 2}{1}$

Étape 19.4.2.3.2

Divisez $- 2$ par $1$ .

$f' (3) = 2$

Étape 19.4.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (3) = 2$

Étape 19.4.2.4

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 19.5

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée première $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.5.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = - \frac{(2 (6)) ((6) - 4)}{3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $(2 (6)) ((6) - 4)$ .

$f' (6) = - \frac{3 (2 \cdot ((2) ((6) - 4)))}{3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.5.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (6) = - \frac{3 (2 \cdot ((2) ((6) - 4)))}{3 ({((6) - 2)}^{\frac{1}{3}})}$

Étape 19.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (6) = - \frac{3 (2 \cdot ((2) ((6) - 4)))}{3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (6) = - \frac{2 \cdot ((2) ((6) - 4))}{{((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.5.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (6) = - \frac{4 (6 - 4)}{{(6 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.5.2.4

Soustrayez $2$ de $6$ .

$f' (6) = - \frac{4 (6 - 4)}{4^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.5.2.5

Soustrayez $4$ de $6$ .

$f' (6) = - \frac{4 \cdot 2}{4^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.5.2.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$f' (6) = - \frac{8}{4^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.5.2.7

La réponse finale est $- \frac{8}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{8}{4^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19.6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 19.7

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 2$ , $x = 2$ est un minimum local.

$x = 2$ est un minimum local

Étape 19.8

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 4$ , $x = 4$ est un maximum local.

$x = 4$ est un maximum local

Étape 19.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = (- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = 0$ est un maximum local

$x = 2$ est un minimum local

$x = 4$ est un maximum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = 2$ est un minimum local

$x = 4$ est un maximum local

Étape 20