Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Écrivez $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.9.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.9.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.2

Développez $(2 x^{2} + 2) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} (x - 1) + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.2.1.3.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.3.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.4

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 ((x - 1) (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.5

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.2.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.6.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.6.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.6.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.6.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.8

Simplifiez

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Étape 2.4.2.1.8.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.8.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{2} x + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.10

Simplifiez

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Étape 2.4.2.1.10.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.2.1.10.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.10.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.10.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{1} x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.10.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{1 + 2} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.10.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.10.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.2.1.10.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 (x \cdot x) - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.10.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 0 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Additionnez $- 2 x^{2} + 2 x - 2$ et $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.2.3

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.2.4

Additionnez $- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.3

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 2$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Étape 3.2

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}})$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.5.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.5.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.5.4.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.5.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.5.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.5.8.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.5.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.5.8.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.8.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.5.8.4.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.5.8.4.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 \cdot ({(x^{2} + 1)}^{2} x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.7

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.7.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.7.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.7.5

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.7.5.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.5.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.7.5.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 3.7.5.3

Associez $2$ et $\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.1

Réécrivez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ comme $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.2

Développez $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.3.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x^{4} + 2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{4} x + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.7.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.7.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.7.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.7.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{1 + 4} + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.7.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.7.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.7.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 x^{1 + 2} + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.7.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 x^{3} + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.9.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.9.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 2 (2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.9.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.10

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x - 4) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.11

Développez $(- 4 x - 4) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x (x - 1) - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.12.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.12.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.12.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.12.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.12.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.12.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.12.2

Soustrayez $4 x$ de $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 0 + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.12.3

Additionnez $- 4 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.13

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.13.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.13.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.13.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.13.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2 + 1} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.13.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.13.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.14

Développez $(- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{2} (x^{3} + x) + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.14.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.14.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.15

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.15.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.15.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.15.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.15.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.15.1.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.15.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.15.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.15.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1.15.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.15.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.15.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.15.2

Additionnez $- 4 x^{3}$ et $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} + 0 + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.15.3

Additionnez $- 4 x^{5}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.16

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5}) + 2 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.17

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x - 8 x^{5} + 2 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.1.18

Multipliez $4$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x - 8 x^{5} + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.2

Soustrayez $8 x^{5}$ de $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.4.3

Additionnez $4 x$ et $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 8 x^{3} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.5.1

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x^{5} + 8 x^{3} + 12 x$ .

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Étape 3.8.5.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4}) + 8 x^{3} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.5.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (2 x^{2}) + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.5.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (2 x^{2}) + 4 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.5.1.4

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (- x^{4}) + 4 x (2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 4 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.5.1.5

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 4 x (3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.5.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.5.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- u^{2} + 2 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.5.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.8.5.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 3.8.5.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 u$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- u^{2} + 2 (u) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.5.4.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 1$ plus $3$

$f'' (x) = \frac{4 x (- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.5.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 x (- u^{2} - 1 u + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.5.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.8.5.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f'' (x) = \frac{4 x ((- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.5.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f'' (x) = \frac{4 x (u (- u - 1) - 3 (- u - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.5.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ((- u - 1) (u - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.5.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{2} - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.6

Annulez le facteur commun à $- x^{2} - 1$ et ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

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Étape 3.8.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- (x^{2}) - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.6.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- (x^{2}) - 1 \cdot 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.6.4

Réécrivez $- (x^{2} + 1)$ comme $- 1 (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.6.5

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $4 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.6.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.8.6.6.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.8.6.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.8.6.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{4 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.8.7

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.8.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 5.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3

Différenciez.

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Étape 5.1.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.9

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.9.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.9.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.2

Développez $(2 x^{2} + 2) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} (x - 1) + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.4.2.1.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.2.1.3.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.1.4.2.1.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.3.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.4

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 ((x - 1) (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.5

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.4.2.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.4.2.1.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.6.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.6.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.6.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.6.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.2.1.8.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.8.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{2} x + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.2.1.10.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.4.2.1.10.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.10.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.1.4.2.1.10.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{1} x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.10.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{1 + 2} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.10.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.10.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.4.2.1.10.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 (x \cdot x) - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.10.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ .

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Étape 5.1.4.2.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 0 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.2.2

Additionnez $- 2 x^{2} + 2 x - 2$ et $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.2.3

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.2.4

Additionnez $- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.3

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 2$ .

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Étape 5.1.4.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.4.3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 6.3.2

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.2.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 6.3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 6.3.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.3.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 6.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - 1, 1$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{4 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Étape 10.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{2^{3}}$

Étape 10.2.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{8}$

Étape 10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{- 4 (1 - 3)}{8}$

Étape 10.3.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- \frac{- 4 \cdot - 2}{8}$

Étape 10.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.4.1

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$- \frac{8}{8}$

Étape 10.4.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 10.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{8}{8}$

Étape 10.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 1$

Étape 10.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 11

$x = - 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Annulez le facteur commun à ${((- 1) - 1)}^{2}$ et ${(- 1)}^{2} + 1$ .

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Étape 12.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{1 + 1}$

Étape 12.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{1 - 1 \cdot - 1}$

Étape 12.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- - 1 - 1 (- 1)$ .

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{- (- 1 - 1)}$

Étape 12.2.1.4

Réécrivez $- (- 1 - 1)$ comme $- 1 (- 1 - 1)$ .

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{- 1 (- 1 - 1)}$

Étape 12.2.1.5

Factorisez $- 1 - 1$ à partir de ${(- 1 - 1)}^{2}$ .

$f (- 1) = \frac{(- 1 - 1) (- 1 - 1)}{- 1 (- 1 - 1)}$

Étape 12.2.1.6

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 1 - 1}{- 1}$ .

$f (- 1) = - 1 \cdot (- 1 - 1)$

Étape 12.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.2.2.1

Réécrivez $- 1 \cdot (- 1 - 1)$ comme $- (- 1 - 1)$ .

$f (- 1) = - (- 1 - 1)$

Étape 12.2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$f (- 1) = 2$

Étape 12.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (- 1) = 2$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{4 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$- \frac{4 (1^{2} - 3)}{{(1^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{4 (1^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Étape 14.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{4 (1^{2} - 3)}{2^{3}}$

Étape 14.2.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{4 (1^{2} - 3)}{8}$

Étape 14.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{4 (1 - 3)}{8}$

Étape 14.3.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- \frac{4 \cdot - 2}{8}$

Étape 14.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.4.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- \frac{- 8}{8}$

Étape 14.4.2

Divisez $- 8$ par $8$ .

$- - 1$

Étape 14.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1$

Étape 15

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{{((1) - 1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 1}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (1) = \frac{0^{2}}{1^{2} + 1}$

Étape 16.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (1) = \frac{0}{1^{2} + 1}$

Étape 16.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{0}{1 + 1}$

Étape 16.2.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (1) = \frac{0}{2}$

Étape 16.2.3

Divisez $0$ par $2$ .

$f (1) = 0$

Étape 16.2.4

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$ .

$(- 1, 2)$ est un maximum local

$(1, 0)$ est un minimum local

Étape 18