Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3 x}{\sqrt{x - 6}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{3 x}{\sqrt{x - 6}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{3 x}{\sqrt{x - 6}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 6}$ comme ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 6)}^{1}}$

Étape 2.4

Simplifiez

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 6}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 6}$

Étape 2.5.2

Multipliez ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 6}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x - 6$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 6$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 6$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 2.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 2.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 2.11

Associez les fractions.

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Étape 2.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 2.11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 2.11.3

Placez ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 2.11.4

Associez $\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 6]}{x - 6}$

Étape 2.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{x - 6}$

Étape 2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{x - 6}$

Étape 2.14

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{x - 6}$

Étape 2.15

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.15.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x - 6}$

Étape 2.15.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 2.16

Pour écrire ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 2.17

Associez ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 2.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 2.19

Multipliez ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.19.1

Déplacez ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 2.19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 2.19.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 2.19.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 2.19.5

Divisez $2$ par $2$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{1} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 2.20

Simplifiez ${(x - 6)}^{1} \cdot 2$ .

$3 \frac{\frac{(x - 6) \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 2.21

Déplacez $2$ à gauche de $x - 6$ .

$3 \frac{\frac{2 \cdot (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 2.22

Réécrivez $\frac{\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$ comme un produit.

$3 (\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - 6})$

Étape 2.23

Multipliez $\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x - 6}$ .

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 6)}$

Étape 2.24

Élevez $x - 6$ à la puissance $1$ .

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 ({(x - 6)}^{1} {(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 2.25

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 2.26

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.26.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 2.26.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 2.26.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.27

Associez $3$ et $\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (2 (x - 6) - x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.28

Simplifiez

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Étape 2.28.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 x + 2 \cdot - 6 - x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.28.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 x) + 3 (2 \cdot - 6) + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.28.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.28.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.28.3.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 x + 3 (2 \cdot - 6) + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.28.3.1.2

Multipliez $3 (2 \cdot - 6)$ .

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Étape 2.28.3.1.2.1

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$\frac{6 x + 3 \cdot - 12 + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.28.3.1.2.2

Multipliez $3$ par $- 12$ .

$\frac{6 x - 36 + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.28.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{6 x - 36 - 3 x}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.28.3.2

Soustrayez $3 x$ de $6 x$ .

$\frac{3 x - 36}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.28.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x - 36$ .

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Étape 2.28.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{3 (x) - 36}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.28.4.2

Factorisez $3$ à partir de $- 36$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot - 12}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.28.4.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot - 12$ .

$\frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 12}{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x - 12}{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}}})$

Étape 3.2

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 12) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{({(x - 6)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 6)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 12) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 12) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 12) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.3.4

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} (1 + 0) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 1 - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.3.5.2

Multipliez ${(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = x - 6$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 6)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 6)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 6)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 6)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 6)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.8.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.9

Associez $\frac{3}{2}$ et ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)))}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 6)))}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.12

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (1 + 0))}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.13

Associez les fractions.

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Étape 3.13.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.13.2

Multipliez $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.13.3

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(x - 6)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14

Simplifiez

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Étape 3.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + (- x + 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + 3 ((- x + 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.14.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + 3 (- x - - 12) \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

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Étape 3.14.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}}) + 3 (- x + 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x - - 12) \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}}) + 3 ((- x + 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}}) + 3 ((- x - - 12) \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + (- x + 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + (- x + 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - x \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 12 (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.4

Associez $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 12 (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.14.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 2 (6) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 2 \cdot (6 (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2})))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 6 (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.6

Multipliez $3$ par $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.7

Pour écrire $18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.8

Associez $18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + \frac{18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x + 18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.14.3.10.1

Factorisez $3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x + 18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

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Étape 3.14.3.10.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 3.14.3.10.1.1.1

Déplacez ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 x {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} + 18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.10.1.1.2

Déplacez ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 x {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} + 18 \cdot (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.10.1.2

Factorisez $3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 3 x {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x) + 18 \cdot (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.10.1.3

Factorisez $3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $18 \cdot 2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x) + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (6 \cdot 2)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.10.1.4

Factorisez $3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x) + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (6 \cdot 2)$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 6 \cdot 2)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.10.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.11

Pour écrire ${(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.12

Associez ${(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.14

Réécrivez $\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)}{2}$ en forme factorisée.

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Étape 3.14.3.14.1

Factorisez ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)$ .

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Étape 3.14.3.14.1.1

Remettez dans l’ordre ${(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.14.1.2

Factorisez ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{2}}) + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.14.1.3

Factorisez ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{2}}) + {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (3 (- x + 12))}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.14.1.4

Factorisez ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{2}}) + {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (3 (- x + 12))$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{2}} + 3 (- x + 12))}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.14.2

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (x - 6) + 3 (- x + 12))}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.14.3

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (x - 6) + 3 (- x + 12))}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.14.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot - 6 + 3 (- x + 12))}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.14.5

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 12 + 3 (- x + 12))}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.14.6

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 12 + 3 (- x) + 3 \cdot 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.14.7

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 12 - 3 x + 3 \cdot 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.14.8

Multipliez $3$ par $12$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 12 - 3 x + 36)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.14.9

Soustrayez $3 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x - 12 + 36)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.3.14.10

Additionnez $- 12$ et $36$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.4

Associez des termes.

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Étape 3.14.4.1

Associez $3$ et $\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24)}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24))}{2}}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.4.2

Réécrivez $\frac{\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24)}{2}}{2 {(x - 6)}^{3}}$ comme un produit.

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24)}{2} \cdot \frac{1}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.4.3

Multipliez $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24)}{2}$ par $\frac{1}{2 {(x - 6)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24)}{2 (2 {(x - 6)}^{3})}$

Étape 3.14.4.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{3}}$

Étape 3.14.4.5

Placez ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{3} {(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 3.14.4.6

Multipliez ${(x - 6)}^{3}$ par ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.14.4.6.1

Déplacez ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 ({(x - 6)}^{- \frac{1}{2}} {(x - 6)}^{3})}$

Étape 3.14.4.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Étape 3.14.4.6.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Étape 3.14.4.6.4

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Étape 3.14.4.6.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Étape 3.14.4.6.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.14.4.6.6.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Étape 3.14.4.6.6.2

Additionnez $- 1$ et $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.14.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- (x) + 24)}{4 {(x - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.14.6

Réécrivez $24$ comme $- 1 (- 24)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- (x) - 1 \cdot - 24)}{4 {(x - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.14.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 24)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- (x - 24))}{4 {(x - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.14.8

Réécrivez $- (x - 24)$ comme $- 1 (x - 24)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- 1 (x - 24))}{4 {(x - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.14.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{3 (x - 24)}{4 {(x - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 5.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 6}$ comme ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 5.1.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 5.1.2

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 6)}^{1}}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 6}$

Étape 5.1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 6}$

Étape 5.1.5.2

Multipliez ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 6}$

Étape 5.1.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x - 6$ .

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Étape 5.1.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 6$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 5.1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 5.1.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 6$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 5.1.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 5.1.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 5.1.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 5.1.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 5.1.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 5.1.11

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 5.1.11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 5.1.11.3

Placez ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Étape 5.1.11.4

Associez $\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 6]}{x - 6}$

Étape 5.1.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{x - 6}$

Étape 5.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{x - 6}$

Étape 5.1.14

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{x - 6}$

Étape 5.1.15

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.15.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x - 6}$

Étape 5.1.15.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 5.1.16

Pour écrire ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 5.1.17

Associez ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 5.1.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 5.1.19

Multipliez ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.19.1

Déplacez ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 5.1.19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 5.1.19.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 5.1.19.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 5.1.19.5

Divisez $2$ par $2$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{1} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 5.1.20

Simplifiez ${(x - 6)}^{1} \cdot 2$ .

$3 \frac{\frac{(x - 6) \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 5.1.21

Déplacez $2$ à gauche de $x - 6$ .

$3 \frac{\frac{2 \cdot (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Étape 5.1.22

Réécrivez $\frac{\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$ comme un produit.

$3 (\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - 6})$

Étape 5.1.23

Multipliez $\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x - 6}$ .

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 6)}$

Étape 5.1.24

Élevez $x - 6$ à la puissance $1$ .

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 ({(x - 6)}^{1} {(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 5.1.25

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.26

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.26.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.26.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 5.1.26.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.27

Associez $3$ et $\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (2 (x - 6) - x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.28

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.28.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 x + 2 \cdot - 6 - x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.28.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 x) + 3 (2 \cdot - 6) + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.28.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.28.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.28.3.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 x + 3 (2 \cdot - 6) + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.28.3.1.2

Multipliez $3 (2 \cdot - 6)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.28.3.1.2.1

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$\frac{6 x + 3 \cdot - 12 + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.28.3.1.2.2

Multipliez $3$ par $- 12$ .

$\frac{6 x - 36 + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.28.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{6 x - 36 - 3 x}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.28.3.2

Soustrayez $3 x$ de $6 x$ .

$\frac{3 x - 36}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.28.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x - 36$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.28.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{3 (x) - 36}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.28.4.2

Factorisez $3$ à partir de $- 36$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot - 12}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.28.4.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot - 12$ .

$f' (x) = \frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 (x - 12) = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $3 (x - 12) = 0$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.1

Divisez chaque terme dans $3 (x - 12) = 0$ par $3$ .

$\frac{3 (x - 12)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 6.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (x - 12)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 6.3.1.2.1.2

Divisez $x - 12$ par $1$ .

$x - 12 = \frac{0}{3}$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x - 12 = 0$

Étape 6.3.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 12$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{3 (x - 12)}{2 \sqrt{{(x - 6)}^{3}}}$

Étape 7.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 (x - 12)}{2 \sqrt{{(x - 6)}^{3}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 \sqrt{{(x - 6)}^{3}} = 0$

Étape 7.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{{(x - 6)}^{3}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{(x - 6)}^{3}}$ comme ${(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1

Simplifiez ${(2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 6)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(x - 6)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 6)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 6)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(x - 6)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(x - 6)}^{3} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 {(x - 6)}^{3} = 0$

Étape 7.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.3.1

Divisez chaque terme dans $4 {(x - 6)}^{3} = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 7.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $4 {(x - 6)}^{3} = 0$ par $4$ .

$\frac{4 {(x - 6)}^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 7.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 {(x - 6)}^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 7.3.3.1.2.1.2

Divisez ${(x - 6)}^{3}$ par $1$ .

${(x - 6)}^{3} = \frac{0}{4}$

Étape 7.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

${(x - 6)}^{3} = 0$

Étape 7.3.3.2

Définissez le $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 7.3.3.3

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 7.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{{(x - 6)}^{3}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 6)}^{3} < 0$

Étape 7.5

Résolvez $x$ .

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Étape 7.5.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[3]{{(x - 6)}^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Étape 7.5.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 7.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x - 6 < \sqrt[3]{0}$

Étape 7.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 7.5.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x - 6 < \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 7.5.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x - 6 < 0$

Étape 7.5.3

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x < 6$

Étape 7.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 6$

$(- \infty, 6]$

$x \leq 6$

$(- \infty, 6]$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 12$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 12$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{3 ((12) - 24)}{4 {((12) - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Factorisez $4$ à partir de $3 ((12) - 24)$ .

$- \frac{4 (3 (3 - 6))}{4 {((12) - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 {((12) - 6)}^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{4 (3 (3 - 6))}{4 ({((12) - 6)}^{\frac{5}{2}})}$

Étape 10.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4 (3 (3 - 6))}{4 {((12) - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3 (3 - 6)}{{((12) - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.3

Soustrayez $6$ de $3$ .

$- \frac{3 \cdot - 3}{{(12 - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.4

Soustrayez $6$ de $12$ .

$- \frac{3 \cdot - 3}{6^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.5

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$- \frac{- 9}{6^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{9}{6^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.7

Multipliez $- - \frac{9}{6^{\frac{5}{2}}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{9}{6^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.7.2

Multipliez $\frac{9}{6^{\frac{5}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{9}{6^{\frac{5}{2}}}$

Étape 11

$x = 12$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 12$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 12$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $12$ dans l’expression.

$f (12) = \frac{3 (12)}{\sqrt{(12) - 6}}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Multipliez $3$ par $12$ .

$f (12) = \frac{36}{\sqrt{12 - 6}}$

Étape 12.2.2

Soustrayez $6$ de $12$ .

$f (12) = \frac{36}{\sqrt{6}}$

Étape 12.2.3

Multipliez $\frac{36}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$f (12) = \frac{36}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Étape 12.2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.1

Multipliez $\frac{36}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 12.2.4.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 12.2.4.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 12.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Étape 12.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 12.2.4.6

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 12.2.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 12.2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 12.2.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 12.2.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 12.2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{6}$

Étape 12.2.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{6}$

Étape 12.2.5

Annulez le facteur commun à $36$ et $6$ .

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Étape 12.2.5.1

Factorisez $6$ à partir de $36 \sqrt{6}$ .

$f (12) = \frac{6 (6 \sqrt{6})}{6}$

Étape 12.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.5.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$f (12) = \frac{6 (6 \sqrt{6})}{6 (1)}$

Étape 12.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (12) = \frac{6 (6 \sqrt{6})}{6 \cdot 1}$

Étape 12.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (12) = \frac{6 \sqrt{6}}{1}$

Étape 12.2.5.2.4

Divisez $6 \sqrt{6}$ par $1$ .

$f (12) = 6 \sqrt{6}$

Étape 12.2.6

La réponse finale est $6 \sqrt{6}$ .

$y = 6 \sqrt{6}$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{3 x}{\sqrt{x - 6}}$ .

$(12, 6 \sqrt{6})$ est un minimum local

Étape 14