Calcul infinitésimal Exemples

$y = 1 + e^{x}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 1 + e^{y}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $1 + e^{y} = x$ .

$1 + e^{y} = x$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$e^{y} = x - 1$

Étape 2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (x - 1)$

Étape 2.4

Développez le côté gauche.

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Étape 2.4.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (x - 1)$

Étape 2.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x - 1)$

Étape 2.4.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (x - 1)$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (x - 1)$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \ln (x - 1)$ est l’inverse de $f (x) = 1 + e^{x}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (1 + e^{x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = \ln ((1 + e^{x}) - 1)$

Étape 4.2.3

Associez les termes opposés dans $(1 + e^{x}) - 1$ .

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = \ln (0 + e^{x})$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $0$ et $e^{x}$ .

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = \ln (e^{x})$

Étape 4.2.4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = x \ln (e)$

Étape 4.2.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = x \cdot 1$

Étape 4.2.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\ln (x - 1))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\ln (x - 1)) = 1 + e^{\ln (x - 1)}$

Étape 4.3.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (x - 1)) = 1 + x - 1$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $1 + x - 1$ .

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Étape 4.3.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\ln (x - 1)) = x + 0$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\ln (x - 1)) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \ln (x - 1)$ est l’inverse de $f (x) = 1 + e^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x - 1)$