Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (x) - \cos (x)$

Étape 1

Écrivez $\sin (x) - \cos (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

Étape 2.3.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\cos (x) + \sin (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Étape 3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Étape 5

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 8

Séparez les fractions.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 9

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 10

Divisez $0$ par $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 11

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Étape 12

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (x) = - 1$

Étape 13

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Étape 14

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 15

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 16

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 16.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 17

La solution de l’équation est $x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \sin (- \frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Étape 19

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \sin (\frac{7 π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Étape 19.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Étape 19.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Étape 19.1.4

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Étape 19.1.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Étape 19.1.5

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{7 π}{4})$

Étape 19.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Étape 19.1.7

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 19.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Étape 19.2.2

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 19.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 19.2.3.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2}$

Étape 20

$x = - \frac{π}{4}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{π}{4}$ est un minimum local

Étape 21

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (- \frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Étape 21.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.2.1.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (\frac{7 π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Étape 21.2.1.2

$f (- \frac{π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Étape 21.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (- \frac{π}{4})$

Étape 21.2.1.4

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{7 π}{4})$

Étape 21.2.1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Étape 21.2.1.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 21.2.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Étape 21.2.2.2

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 21.2.2.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Étape 21.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.2.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 21.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 21.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Étape 21.2.2.3.2.4

Divisez $- \sqrt{2}$ par $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \sqrt{2}$

Étape 21.2.3

La réponse finale est $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Étape 22

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 23

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 23.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 23.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Étape 23.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 23.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Étape 23.2.2

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 23.2.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Étape 23.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 23.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Étape 23.2.3.2.4

Divisez $- \sqrt{2}$ par $1$ .

$- \sqrt{2}$

Étape 24

$x = \frac{3 π}{4}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 π}{4}$ est un maximum local

Étape 25

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 25.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 25.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 25.2.1.3

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Étape 25.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 25.2.1.5

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 25.2.1.5.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 25.2.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Étape 25.2.2.2

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 25.2.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 25.2.2.3.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2}$

Étape 25.2.3

La réponse finale est $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Étape 26

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{4}, - \sqrt{2})$ est un minimum local

$(\frac{3 π}{4}, \sqrt{2})$ est un maximum local

Étape 27